解析不妨设焦点在轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(0,y0),由椭圆的范围知,|0|≤a=10,|y0|≤b=8,
点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则
d=答案C
.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.故选C.
2.已知c是椭圆A.(1,+∞) C.(1,
)
B.(
=1(a>b>0)的半焦距,则
,+∞) ]
的取值范围是( )
D.(1,
解析如图,在△AFO中,令∠AFO=θ,其中θ为锐角,则=sin θ+cos θ=sin∈(1,].
答案D 3.
如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于
P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则
|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .
解析设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.
又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35. 答案35
4.已知定点C(-1,0)及椭圆+3y=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.
解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=(+1)(≠0),将y=(+1)代入+3y=5,消去y整理,得(3+1)+6+3-5=0.
设A(1,y1),B(2,y2),则
2
2
2
2
2
2
2
2
由线段AB中点的横坐标是-所以直线AB的方程为-,得=-y+1=0.
=-,解得=±,适合①.
y+1=0或+5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长? 解(方法一)如图,
建立平面直角坐标系,则a=3,c=2
,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意. 故可设过F1的直线方程为y=(+2
).
∴
①代入②,整理可得
(1+92)2
+36
2
+722-9=0,
∴1+2=,1·2=.
代入|MN|=,可得
|MN|=.
∵=2,∴=±,
即tan α=±,∴α=或α=π.
(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2令|F1M|=,则|F2M|=6-,|F1F2|=4
,
,b=1.
在△MF1F2中利用余弦定理得=若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4
, ,
在△NF1F2中利用余弦定理得y=,
∴|MN|=+y=∴α=6.或α=π.
,∴=2,cos α=±,
导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上
规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少? 解分别以
椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系
Oy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD关于原点O及轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆
的方程为=1.
设顶点A的坐标为(0,y0),0>0,y0>0,
则=1,得(50-2
)=(50-2
).
根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=40y0.
由于(50-2
)
=.
∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时0=25,y0=15,
矩形ABCD的周长为4(0+y0)=4(25+15)=160(m).
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160
m的直线,这两条直线与 m.
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