2021年安徽大学经济学院432统计学考研核心题库之概率论与数理统计教程计算题精编

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主编：掌心博阅电子书第 1 页，共 32 页

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1． 已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03,在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.036.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？(显著性水平0=0.05)

【答案】依题意，假设检验问题为

其拒绝域为

或

由故接受假设

，得

，即认为这段时间生产的铁水含碳量的方差与正常情况下的方差无显著差异.

2． 高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3.又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落.(1)求敌机被击落的概率；(2)若敌机被击落，求它中两弹的概率.

【答案】设事件根据常识，

表示“敌机中i弹”(i=0，1，2，3)，事件B表示“敌机被击落”，根据题意

.

由于每弹击中与否相互独立，且每发炮弹击中敌机的概率为0.3，故有

(1)

，

故敌机被击落的概率为0.2286； (2)

故在敌机被击落的条件下，敌机中两弹的概率为0.497.

3． 设总体X的概率密度为样本

(1)求的矩估计量

，并讨论其无偏性与一致性；

，并讨论其无偏性；

，令

，即

， ，

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，

。其中为未知参数，，为来自X的

(2)求的最大似然估计量【答案】(1)所以的矩估计量为

(3)将和修改为的无偏估计和、并比较和的有效性

故是的无偏估计量。

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，所以

也是的一致估计量。

，则 ，

，没有驻点。故只能直接从最大似然估计的定义出发来求L的最大值点。为使L

(2)构造似然函数

达到最大，

所以

应尽量地小，且得保证

。

X的分布函数为的分布函数为的概率密度为则(3)令

，则，

，令

，故不是的无偏估计量。

?，则

这样和就都是的无偏估计。

则

，所以比更有效。

4． (1)设总体X具有分布律青岛掌ъ心博阅电子书

其中计值。

(2)设

是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量及矩估计量。

X

服从以

r，p

为参数的负二项分布，其分布律为

，试求p的最大

，其中r已知p未知。设有样本值

似然估计值。

【答案】(1)

令又

，得的矩估计量为

。

(3)设随机变量

为未知参数。已知取得了样本值

。试求的矩估计值和最大似然估

，故的矩估计值为

由于样本值1取2次，2取1次，故似然函数为

则对数似然函数为

?

对数似然方程为

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得的最大似然估计值为(2)总体X的分布律为样本

的似然函数为

。

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对数似然函数为：

对数似然方程为：

得因为令

，为的最大似然估计量 ，所以

，得的矩估计量为：

(3)似然函数为

由

得p的最大似然估计值为

。

5． 由指数分布的密度函数导出指数分布的分布函数以及数学期望和方差。

【答案】指数分布的密度函数为

当x＜0时，分布函数F(x)=0;而当

时，

，

故分布函数为

数学期望为

要计算方差，先计算

，

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