??设n1?(1,0,?4),n2??2,?1,?5?,则??ij???n?n1?n2?102?1????4??4i?3j?k?5?k (3分)
从而直线方程为
五、证明题
18. 证 注意到 ?af?x?dx?ba?bx?34?y?23?z?51 （5分）
?2af?x?dx??a?bf?x?dx，从而只需证明
2b?ba?b2a?bf?x?dx??2af?a?b?x?dx （3分）
但是若令a?b?x?t，则
a?ba?b?2af?a?b?x?dx??2bf?t?(?dt)??ba?b2f?t?dt
所以等式成立. （5分）
19. 证 在x?0时，令
f?x??1?12x?1?x
两端同时对x求导，得
f??x??12?12?1?x??12?1??1?2????0 1?x?1 （3分）
所以，该函数单调递增，从而有f?x??f?0??0.即结论成立. （5分） 六、应用题
20.解 （1）易知，抛物线在(1,0)处的切线方程为
y??2x?2 (2分)
该直线与y轴的交点为(0,2).从而，平面图形面积为
A????2020[?12?y?2?]dy??011?ydy1?ydy?1?1??y?1?2?dy????10
3 （5分）
- 5 -
(2)抛物线在?0,1?区间内绕x轴旋转一周后所得旋转体体积为
V1??10?(1?x)dx?22815?（2分）
而切线y??2x?2在?0,1?区间内绕x轴旋转一周后所得旋转体体积为
V2??10??2?2x?dx?243?(4分)
从而，所求体积为
V?V2?V1?43??815??45?(5分)
七、综合题
21. 解 等式两端同除以x，得
f?x?x?lnxx?2x?ef?x?x1dx (2分)
令?ef?x?x1dx?A，对上式两端取定积分，即得
eA??lnxx1dx?A?2xdx?1e12?A?e?1?2(5分)
由此即得，A?12e2，将其代入已知条件，可得
xe22 f?x??lnx? （8分）
22. 解 由曲线在点?1,2?处有水平切线知，下面二式成立：
?a?b?c?8 ?3a?2b?c?0? （3分）
由于拐点在原点处，故有y???0??0，从而，b?0。于是由上述二式可得
a??4,c?12 （6分）
3故所求曲线方程为y??4x?12x （7分）
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