2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（湖北卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是 (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 (2) 复数
(?1?3i)51?3i的值是
（A －16 （B）16 （C）?113 （D）?i 4442?1?x?1?x（3）已知f?，则f(x)的解析式可取为 ??21?x1?x??（A）
x2x2x? （B） （C）
1?x21?x21?x2 （D）－
x 21?x(4) 已知a,b,c为非零的平面向量. 甲：a?b?a?c,乙:b?c,则 （A）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C）甲是乙的充要条件
（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 （5）若
11ba??0,则下列不等式①a?b?ab；②|a|?|b|；③a?b；④??2中，abab正确的不等式有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一（6）已知椭圆
169个直角三角形的三个项点，则点P到x轴的距离为 （A）
9997 （B）3 （C） （D） 5472（7）函数f(x)?a?log,(x?1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为 （A）
11 （B） （C）2 （D）4 42n?1??1?n?1???1??（8）已知数列{an}的前n项和Sn?a?2?????b?2?(n?1)???(n?1,2,...)，其
?2?????2??????中a、b是非零常数。则存在数列{xn}、{yn}使得
1
（A）an=xn+yn 其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列 （B）an=xn+yn，其中{xn}和{yn}都为等差数列
（C）an=xn·yn，其中{xn}为等差数是列，{yn}为等比数列 （D）an=xn·yn 其中{xn}和{yn}都为等比数列 （9）函数f(x)?ax3?x?1有极值的充要条件是
（A）a?0 （B）a?0 （C）a?0 （D）a?0 （10）设集合P={m|-1 (A ) P Q (B) Q P (C)P=Q (D)P∩Q=? (11)已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 （12）设y?f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0?t?24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y?f(t)的图象可以近似地看成函数y?k?Asin(?t|?)的图象。下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （A）y?12?3sin????t,t?[0,24] （B）y?12?3sin?t???,t?[0,24] 6?6?（C）y?12?3sin????t,t?[0,24] （D）y?12?3sin?t??,t?[0,24] 122??12a，a为常数，k?1，2，…，则a=________. 5k?二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 (13）设随机变量E的概率分布为P（E=k）= (14)将标号为1，2，…10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_______种。（以数字作答） (15)设A、B为两个集合。下列四个命题： ①A≠? B?对任意x?A，有x?B； ②A≠? B?A∩B=?； ③A?B?A?B； ④A?B?存在x?A，使得x?B。 ≠ ≠ ≠ 其中真命题的序号是__________。（把符合要求的命题序号都填上） (16)某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处 2 以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_______________km/h。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写文字说明；证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知6sin2α+sinαcosα－2cos2α=0，a????????,??，求sin?2a??的值。 3??2??（18）（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1、B1、C1、D1中，点E是棱BC的中点，点F 是棱CD上的动点。 （Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F； （Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）。 （19）（本小题满分12分） 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2 a的线段P Q以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP，CQ的值最大？并求出这个最大值。 （20）（本小题满分12分） 22直线l：y?kx?1与双曲线C：2x?y?1的右支交于不同的两点A、B。 （Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值。若不存在，说明理由。 3 （21）（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。 （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。） ．．． （22）（本小题满分14分） 已知a?0，数列{an}满足a1?a,an?1?a?1,n=1，2，…。 an（Ⅰ）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=liman(将A用a表示)； n→∞ （Ⅱ）设bn?an?A,n?1,2,…，证明：bn?1??（Ⅲ）若|bn|? 4 bn； A(bn?A)1对n?1,2,…，都成立，求a的取值范围。 2n
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