a＋2b＋1＝0，??a
解析：∵f′(x)＝x＋2bx＋1，由题意得?a
??2＋4b＋1＝0.2
∴a＝－. 32
答案：－ 3
1
7．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝a处有极值，则b的值为________． 1解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值，
a1?1∴f′?＝2a·?a?a＋b＝0，即b＝－2. 答案：－2
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
3
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
2②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值； ④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知， x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值． 解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
(－∞，ln 2) － 单调递减↘ ln 2 0 2(1－ln 2＋a) (ln 2，＋∞) ＋ 单调递增↗ 解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 13∴a＝，b＝0，c＝－. 2213(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
22333
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
222
当x<－1或x>1时，f′(x)> 0；当－1 ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1； 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 层级二 应试能力达标 1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( ) A．1，－3 C．－1,3 2 B．1,3 D．－1，－3 ??3a＋b＝0， 解析：选A ∵f′(x)＝3ax＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴?∴ ?a＋b＝－2，? a＝1，b＝－3. 2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( ) A．(－1,2) C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) B．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， ∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6. 3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( ) A．a＜－1 1 C．a＜－ e B．a＞－1 1 D．a＞－ e 解析：选A ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1. 4．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( ) e2π?1－e2 018π?A. e2π－1 eπ?1－e2 016π?B. 1－e2πeπ?1－e1 008π?C. 1－e2πeπ?1－e1 008π?D. 1－eπ解析：选B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ 1－e2π1－e2π5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______． 解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19 6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______． 解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a， 则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1 ＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)． 答案：[1,5) 7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， 1 ex－?. f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)?2??令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e2)． － 8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值． (1)求实数a的值． (2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2 x＋a －2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值， 所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意． (2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b， 2 2x?x＋5 ?则g′(x)＝ －2x－1＝－?2?x＋2x＋2 (x＞－2)． g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表： x (－2,0) 0 (0，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 2ln 2＋b 由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b. 要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根， ?g?－1?≤0，只需? ?g?0?＞0， ? ?g?1?≤0， ?b≤0，即? ?2ln 2＋b＞0，??2ln 3－2＋b≤0， 所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3. 故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]． 课时跟踪检测（七） 函数的最大(小)值与导数 层级一 学业水平达标 1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定 解析： 选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A. ) 2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A．12，－8 C．12，－15 解析：选A y′＝6x2－6x－12， 由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)． x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8. ∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A. 3．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( ) A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值 解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)． 令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1?(－1,1)， ∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 1 4．函数f(x)＝2x＋x，x∈(0,5]的最小值为( ) A．2 17C. 4 B．3 1 D．22＋ 2B．1，－8 D．5，－16 3x－1211 解析：选B 由f′(x)＝－2＝2＝0，得x＝1， xxx且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0， ∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3. ln x 5．函数y＝x的最大值为( ) A．e1 － B．e D．10 ?ln x?′x－ln x1－ln x ＝＝0?x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x x2x2－ － C．e2 解析：选A 令y′＝ ＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e1. 6．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为__________． 解析：y′＝ 12x －1＝ 1－2x1，令y′＝0得x＝. 42x 11 ∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0. 44
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