２015年福建省高中数学竞赛
暨２０15年全国高中数学联赛(福建省赛区）预赛试卷
（考试时间:2０15年５月２4日上午9:0０-11：3０，满分16０分）
一、填空题(共10小题,每小题6分，满分6０分。请直接将答案写在题中的横线上）
x?4???0，x?Z?,从集合A中随机抽取一个元素x,记??x2,则随机变量?1.设集合A??xx?3??的数学期望E?? 。
2．已知f(x)?x?g(x),其中g(x)是定义在R上，最小正周期为2的函数。若f(x)在区间
4?上的最大值为1，则f(x)在区间?10，12?上的最大值为 ?2， 。
x2y23.F1、F2为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,使得
abPF1?PF2,则椭圆离心率e的取值范围为 。
4.已知实数x,y,z满足x2?2y2?3z2?24，则x?2y?3z的最小值为 。 5.已知函数f(x)?x2cos?x2,数列?an?中，an?f(n)?f(n?1)(n?N*），则数列?an?的前
１0０项之和S100? 。
6．如图,在四面体ABCD中,DA?DB?DC?2,DA?DB，DA?DC,且DA与平面ABC所成角的余弦值为
6。则该四面体外接球半径R? 。 3z3的对应点分别为Z1、z2、Z2、Z3。７.在复平面内,复数z1、若z1?z2?2,OZ1?OZ2?0，
z1?z2?z3?1,则z3的取值范围是 。
８.已知函数f(x)?ex(x?aex)恰有两个极值点x1，x2(x1?x2），则a的取值范围为 。
９．已知f(x)?m?2x?x2?nx,若?xf(x)?0???xf(f(x))?0???,则m?n的取值范围为 。
1０．若sin?9?sin2??9?sinn?14?，则正整数n的最小值为 。 ?tan929二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)
11．求函数y?2x?4x2?8x?3的最小值。
y2?1于A、B两点。 １２.已知过点P(0，1)斜率为k的直线l交双曲线C:x?32（１)求k的取值范围;
（２)若F2为双曲线C的右焦点，且AF2?BF2?6,求k的值。
１3.如图，I、D分别为△ABC的内心、旁心，BC与圆I、圆D相切，切点分别为E、F,G为AD与BC的交点。
（1)求证:
AIGE?； ADGFIMBFGEA（2）若M为EF中点，求证：AE∥DM。
(旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。)
CD14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点I(2015，7?2015)为内心且直角顶点在坐标原点O的整点直角三角形OAB的个数。
15.若对任意的正整数m，集合?m，m?1，m?2，，m?99?的任意n（n?3)元子集中，总有３个元素两两互素,求n的最小值。
2015年福建省高中数学竞赛
暨20１5年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：201５年5月2４日上午9:00－1１：３0，满分1６0分）
一、填空题(共10小题，每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
x?4???0，x?Z?，从集合A中随机抽取一个元素x，记??x2,则随机变1．设集合A??xx?3??量?的数学期望E?? 。
【答案】 5
【解答】A???4，?3，?2，?1，，，012?，随机变量?的取值为0,1,4,９，16。 易得，?的概率分布列为
? P 0 1 71 2 7４ 2 79 1 716 1 712211∴ E??0??1??4??9??16??5。
77777２．已知f(x)?x?g(x)，其中g(x)是定义在R上,最小正周期为２的函数。若f(x)在区间
4?上的最大值为1，则f(x)在区间?10，12?上的最大值为 ?2，【答案】 9
。
【解答】依题意,有f(x?2)?(x?2)?g(x?2)?x?g(x)?2?f(x)?2。 ∵ f(x)在区间?2，4?上的最大值为1，
∴ f(x)在区间?4，6?上的最大值为3，在区间?6，8?上的最大值为５,在区间?8，10?上的最大值为７,在区间?10，12?上的最大值为９。
x2y23.F1、F2为椭圆C:2?2?1(a?b?0）的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,使得
abPF1?PF2,则椭圆离心率e的取值范围为 。
?2?，1?【答案】? ??2?【解答】设A为椭圆C的上顶点,依题意有?F1AF2?90?。 c212c222?e?1。 ∴ ?F2AO?45?，?1。c?a?c，2?,
a22b4.已知实数x，y，z满足x2?2y2?3z2?24,则x?2y?3z的最小值为 。 【答案】 ?12
【解答】由柯西不等式，知
222??(x2?2y2?3z2)?144。 (x?2y?3z)2?(1?x?2?2y?3?3z)2??1?(2)?(3)??∴ x?2y?3z??12，当且仅当
x2y3y,即x?y?z??2时等号成立。 ??123
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