圆锥曲线定点定值问题

圆锥曲线定点定值问题

1.（2013?陕西）已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(?1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q.若x轴是?PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．

[解析](1)设动圆圆心为点O(x,y)，则由勾股定理得x2?42?(x?4)2?y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2?8x.

(2)证明：由题意可设直线l的方程为y?kx?b(k?0)． ?y?kx?b联立?2得k2x2?2(kb?4)x?b2?0.

?y?8x由??4(kb?4)2?4k2b2?0，得kb?2 设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)， b22(kb?4)则x1?x2??，x1x2?2. 2kk因为x轴是?PBQ的角平分线，所以kPB?kQB?0， 即kPB?kQB?y1y2kx1x2?(k?b)(x1?x2)?2b8(k?b)?2???0， x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)k2所以k?b?0，即b??k，所以l的方程为y?k(x?1)． 故直线l恒过定点(1,0)．

x212.（2019全国3文）已知曲线C:y?，D为直线y??上的动点，过D作C的两条直

22线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点.

1[解析]设D(t,?)，A(x1,y1)，则x12?2y1，由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故

2y1?12?x，整理得2tx?2y?1?0，设2tx?2y?1?0.设B(x,y)同理可得

1111122x1?t12tx2?2y2?1?0.故直线方程为2tx?2y?1?0，故直线AB过定点(0,).

23.（2017?南昌三模）如图，已知直线l:y?kx?1(k?0)关于直线x2y?x?1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E:?y2?1分别交于

4点A,M和A,N记直线l1的斜率为k1.

(1)求k?k1的值；

(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

[解析](1)设直线l上任意一点P(x,y)关于直线y?x?1对称点为P0(x0,y0)， 直线l与直线l1的交点为(0,1)， ?l:y?kx?1，l1:y?k1x?1，

k?y?1y?y0x?x0y?1，k1?0，由??1，

x0x22得y?y0?x?x0?2，① 由

y?y0??1，得y?y0?x0?x，② x?x0?y?x0?1由①②得?，

y?x?1?0∴k?k1??yy0?(y?y0)?1

xx0(x?1)(x0?1)?(x?x0?2)?1?1

xx0(2)设M(xM,yM)，N(xN,yN)， ?y?kx?1?由?x2得(4k2?1)x2?8kx?0， 2??y?1?4?xM1?4k2?8k，yM?2. ?24k?14k?1k2?4?8k同理可得xN?，yN?. 224?k4?kkMNyM?yNk2?1???， xM?xN3k直线MN：y?yM?kMN(x?xM)， 1?4k2k2?1?8k??(x?2)， 即y?23k4k?14k?1k2?15即y??x?.

3k35∴当k变化时，直线MN过定点(0,?).

3x2y214.(2019·沈阳模拟)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为

2ab其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为3，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使OM?ON?m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．

1[解析](1)当点P位于短轴的端点时，?PF1F2的面积最大，即?2c?b?3

2?222?c?a?b???a?2则有?bc?3解得?，

?b?3??c1???a2x2y2所以椭圆C的方程为??1.

43(2)设M?x1,y1?，N?x2,y2?，则x1x2?y1y2?m，

当直线MN的斜率存在时，设其方程为y?kx?n，则点O到直线MN的距离d?|n|k?1?3x2?4y2?12联立?，消去y，得(4k2?3)x2?8knx?4n2?12?0, 由??0得

?y?kx?n2，

4k2?n2?3?0，

4n2?128kn则x1?x2??2，x1x2?， 24k?34k?3所以x1x2?(kx1?n)(kx2?n)?(k2?1)x1x2?kn?x1?x2??n2?m，整理得7n2m(4k2?3). ?12?k2?1k2?1因为d?n212d?为常数，则，， m?07k2?17n2此时2?12满足??0.

k?1当MN?x轴时，由m?0得kOM??1， ?3x2?4y2?1212联立?，消去y，得x2?，

7?y??x点O到直线MN的距离d?12亦成立． 7综上可知，当m?0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是

12. 75.（2018北京理）已知抛物线C:y2?2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：

1??1?为定值.

[解析]设A(x1,y1)，B(x2,y2)设直线方程为y?kx?1(k?0)，与抛物线方程联立可得：k2x2??2k?4?x?1?0依题意得：x1?x2??2k?41，直线PA的方程为xx?1222kky?2?y1?2?y?2?kx1?1(x?1)，令x?0，得点M的纵坐标为yM?1?2??2.同理得点x1?2x1?1x1?1?kx2?1?2.由QM??QO，QN??QO，得x2?1N的纵坐标为yN?1111??1?yM,??1?yN.?????2.

??1?yM1?yN6.（2017江西模拟）已知抛物线C:y2?2px(p?1)的焦点为F，直线y?m与y轴的交点为

P，与C的交点为Q(x0,y0)，且

|QF|?p.当x0?1时，若直线l与抛物线C相交于A、B两|PQ|点，OA?OB，试问：是否存在实数n，使得|DE|的长为定值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由. [解析]存在.当x0?1时，

p?1，?p?2，设AB的方程为x?ty?m，打入抛物线方程

2(p?1)可得y2?4ty?4m?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 y1?y2?4t，y1y2??4m，由OA?OB得：解得m?4.?l:x?ty?4，圆心到直线的距离为d?(ty1?m)(ty2?m)?y1y2?0，

|n?4|1?t2，

(n?4)2?|DE|?21?，n?4时，|DE|?2.

1?t2