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双曲线的简单几何性质
x2y222【知识点1】双曲线a-b＝1的简单几何性质
(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点：A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a，虚轴长为2b，且c＝a+b.
2
2
2
x2y2b22(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±ax，或令双曲线标准方程a-b＝1中的1为零即得渐近线方程. c(5)离心率e＝a＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
222
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x-y＝a(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝2.
x2y2x2y22222(7)共轭双曲线：方程a-b＝1与a-b＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注
意方程的表达形式.
x2y2x2y22222注意：（1）与双曲线a-b＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为a-b＝λ(λ≠0且λ为待定常数) x2y2x2y2222222
（2）与椭圆a+b＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为a??-b??＝1(λ＜a,其中b-λ＞0时
为椭圆， b＜λ＜a时为双曲线)
2
2
a2c（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝c的距离之比等于常数e＝a(c＞a＞b20)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝c，与椭圆相同.
yx1、写出双曲线方程49?25??1的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程
22
2、已知双曲线的渐近线方程为y??x，求双曲线的离心率
3、求以2x?3y?0为渐近线，且过点p（1,2）的双曲线标准方程
34.\\
4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为
4，求双曲线的标准方程。 3x2y2??1共渐近线，且经过A23,?3点的双曲线的标准方及离心率． 5、求与双曲线
169??
【知识点2】弦长与中点弦问题
（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长 AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?1?1?y2?y1?2k(1?1)?[(y1?y2)2?4y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. 2k（2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭
2222b2xy圆2?2?1（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=?2；对于双曲线x?y?1（a>0，aaba2b2b222pb>0），类似可得：KABKOM=2；对于y=2px（p≠0）抛物线有KAB＝；另外，也可以用韦达定理来处理.
y1?y2ax2y2【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P作直线与双曲线2?2?1(a?0,b?0)只有一个交
ab点，这样的直线有几条？（几何角度）
6、若y=kx-1与双曲线x?y?4只有一个公共点,求k的范围.
【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？
22y2?1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？ 7、过双曲线x?22
【题型2】双曲线离心率的求法
一、根据离心率的范围，估算e：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率
，双曲
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线的离心率，抛物线的离心率来解决。
x2y2
8、已知双曲线C：2－2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂
ab足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．
x2y222
9、已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆Cab的圆心，则该双曲线的方程为________．
二、直接求出a、c，求解e：已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式
来解决。
10、点P（－3，1）在椭圆直线
（）的左准线上，过点P且方向为的光线经
反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.
A. B. C. D.
三、构造a，c齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。 11、已知
是双曲线
之间的关系，沟通的关系（特别是
的两焦点，以线段为边作正三角形，若边
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.
A. B. C. D.
12、过双曲线＝1的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为
直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。
四、寻找a与c的关系式：由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。 13、设椭圆的两个焦点分别为
，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若
为等腰直角三角形，
.\\
则椭圆的离心率是【 】.
A. B. C. D.
五、统一定义法：由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即
。
14、设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的
距离，则椭圆的离心率是____________。 【总结3】三种常见的解题方法 （1）转换法——为解题化归立意
x2y215、直线l过双曲线2?2?1的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的
ab离心率e的范围是【 】
A.e>2 B.1
y2?1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|?3:2，则△PF1F2的16、设P为双曲线x?122面积为【 】
A．63
B ．12
C.123 D．24
（3）设而不求——与借舟弃舟同理
17、双曲线x?y?1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为【 】
A. y?2x?1 B. y?2x?2 C. y?2x?3 D. y?2x?3
22y2?1上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，18、在双曲线x?22请说明理由。 ◆高考题选
x2y21.（浙江卷）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线
abuuur1uuur的交点分别为B,C．若AB?BC，则双曲线的离心率是【 】
2.\\ A．2 B．3 C ． 5 D．10 x2y22.（浙江卷）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直
abuuuruuur线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是【 】
A．3211 B． C． D． 2232x2y2??1的渐近线与圆(x?3)2?y2?r2(r?0)相切，则r=【 】. 3.（全国卷）双曲线63（A）
3 （B）2 （C）3 （D）6
x2y24.（江西卷）设F1和F2为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个
ab顶点,则双曲线的离心率为【 】. A．
35 B．2 C． D．3 22x2y25.设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为【 】.
abA y??2x B y??2x C y??21x Dy??x22
x2y2x2y2??1的准线过椭圆?2?1的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多有一个交6. (湖北卷)已知双曲线224b点的充要条件是【 】.
???1??122?2??2?11???A. K???,? B. K????,??U?,??? C. K???,??,?,???? D. K???U???22222222????????????
x2y2??1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点7.（四川卷文）已知双曲线
2b2P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝【 】.
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
x2y2【问题1】过平面内任一点P作直线与双曲线2?2?1(a?0,b?0)只有一个交点，这样的直线有几条？（几
ab何角度）
【答案】P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；
P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；
P在双曲线外，
若P在渐近线上且P为原点时，0条；
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