04 - 三角函数及三角恒等变换（共46页）

第四编 三角函数及三角恒等变换

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测 ①{小于90°的角} ③{第一象限的角} 答案 ④

2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 . 答案

②{0°～90°的角} ④以上都不对

1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）.

? 32

3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm，则扇形的中心角的弧度数是 . 答案 1或4

4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?= . 答案 -cos2

5. ?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=答案

例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,解 ∵?是第二象限的角，

∴k2360°+90°＜?＜k2360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k2360°+180°＜2?＜2k2360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k2180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时， n2360°+45°＜

2x,则sin?= . 410 4?? ,的终边所在位置. 22? ＜k2180°+90°（k∈Z）， 2?＜n2360°+90°； 2当k=2n+1（n∈Z）时， n2360°+225°＜

?＜n2360°+270°. 2∴

?是第一或第三象限的角. 2?＜k2120°+60°（k∈Z）， 3（3）∵k2120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时， n2360°+30°＜

?＜n2360°+60°； 3当k=3n+1（n∈Z）时， n2360°+150°＜

?＜n2360°+180°； 3当k=3n+2（n∈Z）时， n2360°+270°＜∴

?＜n2360°+300°. 3?是第一或第二或第四象限的角. 3例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?, 所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r, ?180?∴?=?-2=(?-2)3??

????≈1.142357.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=

1212

r?=（?-2）r. 22（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) 扇形的面积S=S=

①

1lr，将①代入，得 2122

(20-2r)r=-r+10r=-(r-5)+25, 2所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-235=10,?=

l=2. r所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例3 （14分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值. 解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角?的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0),

2分

则x=4t,y=-3t,

r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t,

4分

当t＞0时，r=5t, sin?=tan?=y?3t3x4t4???,cos?=??, r5t5r5t5y?3t3???;

x4t4

8分

当t＜0时，r=-5t,sin?=yr??3t3?5t?5, cos?=xr?4t?5t??45, tan?=yx??3t4t??34.

12分

综上可知，t＞0时，sin?=?35,cos?=45,tan?=?34;

t＜0时，sin?=35,cos?=-45,tan?=?34.

14分

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥

32;(2)cos?≤?12.

解 （1）作直线y=

32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

?3≤?≤2k?+23?，k∈Z . （2）作直线x=?12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为

?|2k?+

23?≤?≤2k?+43?，k∈Z .

1.已知?是第三象限角，问

?3是哪个象限的角？ 解 ∵?是第三象限角，∴180°+k2360°＜?＜270°+k2360°（k∈Z）， 60°+k2120°＜

?3＜90°+k2120°. ①当k=3m(m∈Z)时，可得

60°+m2360°＜?3＜90°+m2360°（m∈Z）. 故

?3的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m2360°＜?3＜210°+m2360°（m∈Z). 故

?3的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m2360°＜?3＜330°+m2360°（m∈Z）. 故

?3的终边在第四象限. 综上可知，

?3是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=2?3rad，r=6， ∴ 的弧长为l=2?336=4?. (2)∵S1扇形OAB=

2lr=1234?36=12?， S△ABO=

12r22sin2?12

33=23632=93，

∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.

3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值. 解 ∵角?的终边在y轴上，

∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t. ∴r=x2?y2=02?t2=|t|. 当t＞0时，r=t, sin?=

yr=tt=1,cos?=xr=0t=0,tan?=yx不存在；

当t＜0时，r=-t，sin?=yr=t?t=-1, cos?=

xr=0y?t=0,tan?=x不存在. 综上可知：sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：