第2课时 平面向量的综合应用
题型一 平面向量与数列
例1(2018·浙江名校协作体考试)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N)→1→→
均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若PnA＋xn＋1·PnB＋(2xn＋1)PnC＝0，则x4的值为
2( )
A．15B．17C．29D．31 答案 A
1→1→→→→→
解析 因为PnA＋xn＋1PnB＋(2xn＋1)PnC＝0，所以PnA＋(2xn＋1)PnC＝－xn＋1PnB，如图，设(2xn221→→→→→→
＋1)PnC＝PnD，以PnA和PnD为邻边作平行四边形PnDEA，所以PnA＋PnD＝PnE＝－xn＋1PnB，所
2→→→|PnE|xn＋1xn＋1|PnC|1|PnC|1xn＋11以＝，所以＝，又＝＝，所以＝，所以＝＝，所
→22→2xn＋1→2xn＋14xn＋22|PnB||PnD||AE|以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故选A.
思维升华向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．
→→→
跟踪训练1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a2018OC，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2018等于( ) A．1009 C．2017 答案 A
→→→
解析 因为OB＝a1OA＋a2018OC，且A，B，C三点共线，
B．1008 D．2018
*
a1＋a2018＝1，又数列{an}是等差数列， S2018＝
?a1＋a2018?×2018
＝1009.
2
6
，且m＝2
(2)(2018·浙江新高考预测)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝
→→→?2sin B＋C，cos B－C?，当角A最大时，动点P使得|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，则??22??
→
|PA|
的最大值是________． →|BC|
答案
23
3
解析 设BC＝2a，BC的中点为D.
?2
由题意得|m|＝?2sin
?
B＋C?2?B－C?2
?＋?cos ?
2?
?2?
1
＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]
23133＝－cosBcosC＋sinBsinC＝， 2222
131则cosBcosC＝sinBsinC，化简得tanBtanC＝， 223tanB＋tanC则tanA＝－tan(B＋C)＝－
1－tanBtanC33
＝－(tanB＋tanC)≤－×2tanBtanC＝－3，
22当且仅当tanB＝tanC＝
3
时，等号成立， 3
2ππ
所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，
36则易得AD＝
3a. 3
→→→
因为|PB|，|BC|，|PC|成等差数列，
→→→→
所以2|BC|＝|PB|＋|PC|，则点P在以B，C为焦点，以2|BC|＝4a为长轴的椭圆上，由图(图→→
略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，|PA|取得最大值，此时|PD|＝?2a?－a＝3a，
43a→→→
则|PA|＝|PD|＋|AD|＝，
343a→3|PA|23所以＝＝.
→2a3|BC|
题型二 和向量有关的最值问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值问题
→→→
例2 (1)(2018·浙江镇海中学测试)已知△ABC内接于圆O，且A＝60°，若AO＝xAB＋yAC(x，
2
2
y∈R)，则x＋2y的最大值是( )
2122A.B．1C.D．2－ 323答案 D
解析 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. →→→由AO＝xAB＋yAC，
→→→2→→得AO·AB＝xAB＋yAC·AB， →→→→→AC·AO＝xAC·AB＋yAC2， 11
c＝c·x＋bc·y，??22
所以?11
b＝??22bc·x＋b·y，
2
2
2
2
2bx＝－，??33c解得?2cy＝??3－3b，
2
1?b2c?1
所以x＋2y＝2－?＋?≤2－×22
3?cb?322
＝2－(当且仅当b＝2c时取等号)，
3故选D.
(2)(2018·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足5答案 4
解析 连接MN交AC于点G. 由勾股定理，知MN＝CM＋CN，
2
2
2
1
CM2
＋
1
CN→→→
＝1，若AC＝xAM＋yAN，则x＋y的最小值为________．
MN2
所以1＝2＋2＝2，即MN＝CM·CM，
CMCNCM·CN2
1
1
所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示)， →
AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·?
→→
y→??x→AM＋AN. x＋y??x＋y?
→→
由向量共线定理知，AC＝(x＋y)AG，
→|AC|5
所以x＋y＝＝，
→→|AG||AG|
5→
又因为|AG|max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值为. 4命题点2 与数量积有关的最值问题
例3 (1)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC→→→→→→
与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( ) A．I1＜I2＜I3 C．I3＜I1＜I2 答案 C
→→→→
解析 ∵I1－I2＝OA·OB－OB·OC →→→→→＝OB·(OA－OC)＝OB·CA，
→→
又OB与CA所成角为钝角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2. →→→→
∵I1－I3＝OA·OB－OC·OD
→→→→
＝|OA||OB|cos∠AOB－|OC||OD|cos∠COD →→→→
＝cos∠AOB(|OA||OB|－|OC||OD|)， 又∠AOB为钝角，OA＜OC，OB＜OD， ∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2， 故选C.
(2)(2018·绍兴市柯桥区质检)已知向量a，b，c满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－
B．I1＜I3＜I2 D．I2＜I1＜I3
b)的最大值是________，最小值是________．
1
答案 3 － 8
122
解析 由题意得|a|＝，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|－c·b－c·a＋a·b＝|c|
2111122222
＋(－a－b＋c)－(|a|＋|b|＋|c|)＝－＋(－a－b＋c)，则当向量－a，－b，c同向228211?1?2
共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－＋?＋1＋1?＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c82?2?1
－b)取得最小值－.
8
命题点3 与模有关的最值问题
→→→→→
例4 (1)(2018·浙江金华一中考试)已知OA，OB，OC是空间两两垂直的单位向量，OP＝xOA＋
相关推荐：
loading