中考数学重难点专题讲座
第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题
【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。
第一部分 真题精讲
【例1】2010，海淀，一模
如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B2D1C1的面积为S1，?B3D2C2的面积为S2，…，?Bn?1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）．
B1D1AC1B2D2C2B3D3C3B4D4C4C5B5……
【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是
?B2AC2,?B3AC3这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S2所代表的三
角形的底边C2D2是三角形AC2D2的底边,而这个三角形和△AC3B3是相似的.所以边长的比例就是AC2与AC3的比值.于是
1223.接下来通过总结,我们发现所求的S2??2??3?233三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发
现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以得出Dn自然是所在边上的n+1等分点.例如D2就是B2C2的一个三等分点.于是减1?)
【例2】2010，西城，一模
在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是(?8，0)，(0，4)，(8，0)，(0，?4)，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形ABCD的四个顶点坐
nnnn标分别为(?2n，，则菱形ABCD能覆盖的0)，(0，n)，(2n，0)，(0，?n)（n为正整数）nnnn单位格点正方形的个数为_________（用含有n的式子表示）．
S?Bn?1DnCn?DnCn?n?1?1(n+1-1是什么意思?为什么要
?2n?1112n3n DnCn?3??3?22n?1n?1y4BA-8OC8
x-4D【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔
者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象(0,n),自然可以写出直线解析式为限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）
y?1,
x?n2斜率1意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n
2个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是1?而且这些直角三角形都是全等的,面积均
2为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是12小三角形的面积之和为
,n
?2n?n所有个空白
21,相减之后自然就是所有格点正方形的面积n?n,也就是n??2?122
数量了.所以整个菱形的正方形格点就是4n?4n.
【例3】2010，平谷，一模
如图，?AOB?45?，过OA上到点O的距离分别为1，，，，，357911...的点作OA的垂线与
OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S，S，S，S，?．则第一个黑
1234色梯形的面积S? ；观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积
1Sn? ．
BS3S2S10135791113...AS4
【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为
?AOB?45?，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。
1第一个梯形上底是1，下底是3，所以S1???1?3??2?4.第二个梯形面积
2S2?11??5?7??2?12,第三个是S3???9?11??2?20,至此,我们发现本题中梯形面积数值上22其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上
相关推荐：
loading