离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳

离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳

一、基础知识

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示?. (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X P ?

x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式P?X＝xi?

＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列.

(2)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②?pi＝1.

i＝1n

3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列

X P

若随机变量X的分布列具有左表的形式，则称X服从两点分布?，并称p＝P?X＝1?为成功概率.

(2)超几何分布列?

nk

CkMCN－M

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，

CnN

－

0 1－p 1 p k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*?.

X P 0 n0C0MCN－M CnN－1 n1C1MCN－M CnN－… … m nmCmMCN－M nCN－ 如果随机变量X的分布列具有左表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．

两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.

超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：

(1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；

(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m＝min{M，n}的理解

m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k的最大值为m＝M.

考点一 离散型随机变量的分布列的性质

1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X P

则q的值为( ) A.1 333C.－ 26

解析：选C 由分布列的性质知 2－3q≥0，??q≥0，?1??3＋2－3q＋q＝1，

2

2

－1 1 30 2－3q 1 q2 333B.± 26333D.＋ 26

333解得q＝－.

26a

2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，

n?n＋1?

15

＜X＜?的值为( ) 则P?2??2

2A. 34C. 5

3B. 45D. 6

111145

解析：选D 由?1×2＋2×3＋3×4＋4×5?×a＝1，知a＝1，得a＝.

54??1515155

＜X＜?＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 故P?2??2246463.设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m (1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，

0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 首先列表为：

X 2X＋1

从而Y＝2X＋1的分布列为

Y P (2)列表为

X |X－1| ∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

0 1 1 0 2 1 3 2 4 3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9