在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．
21.解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2. 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE， 求证：∠1=∠2.
证明：在△ABD和△ACE中，
，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∴∠1=∠2.
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE. 已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2， 求证：BD=CE.
证明：∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，
，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.
22.证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE． 23.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.
24.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED
∵AB=AC+CD ∴AE=AB
∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD
∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB ∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD ∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B 即∠C=2∠B
25.证明：如图，连接PB，PC，
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∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°， ∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB， 在Rt△PMC和Rt△PNB中，
，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．
26.证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，
∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．
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