向量复习
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC
??????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
． ?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”
??3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 AB?BC?CD???????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：a?b可????以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
??4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度
与方向规定如下：
（Ⅰ）?a???a； （Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当
??????????0时，λa的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意
的
??5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使??得b=?a
6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其
?????? 1
中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ??二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，记作
a=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? (2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)
(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2
若a?b，则x1?x2?y1?y2?0
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
b=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱cos?
叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0 2向量的投影：︱b︱cos?=
a?b∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的|a|绝对值称为射影 b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 3数量积的几何意义： a·
4向量的模与平方的关系：a?a?a?|a| 225乘法公式成立：
?a?b???a?b??a?b?a?a?b??a?2a?b?b?a222222?b； ?2a?b?b
2226平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a?b?b?a
2
?????R?
③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b? 特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；
②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c?
??（3）a?b=0不能得到a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2
8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=?
（0???180）叫做向量a与b的夹角 00cos?=cos?a,b??a?ba?b=
x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b
0
10两个非零向量垂直的充要条件： ????a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0平面向量数量积的性质
题型一：向量的概念与几何运算
〖例1〗出下列命题：①若a?b，则a?b； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则AB?DC是四边形为平行四边形的充要条件； ③若
a?b,b?c，则a?c； ④a?b的充要条件是a?b且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c。 其中，正确命题的序号是____________
答案：②③。
→→→
〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
3
图1－2
→→→
A．0 B． BE C．.AD D．CF
→→→→→→→→→
【解析】 BA＋CD＋EF＝BA＋AF－BC＝BF－BC＝CF，所以选D. 〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a，b满足|a + b| =|a–b |=则a + b与a–b的夹角为（ ）
A．30? B．60? C．120? D．150? 答案：B
〖例4〗已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,OE?e，设t?R，如果
23|a|，33a?c,2b?d,e?t(a?b)，那么t为何值时，C,D,E三点在一条直线上？
解：由题设知，CD?d?c?2b?3a,CE?e?c?(t?3)a?tb，C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE?kCD，即
(t?3)a?tb??3ka?2kb，
整理得(t?3?3k)a?(2k?t)b. ①若a,b共线，则t可为任意实数；
?t?3?3k?06②若a,b不共线，则有?，解之得，t?.
5?t?2k?0综上，a,b共线时，则t可为任意实数；a,b不共线时，t?【小结】：
1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．
2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．
3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．
6. 5题型二：平面向量的坐标运算
〖例1〗设a＝(ksinθ, 1)，b＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a∥b，求证：k≥3．
4
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