第8讲 单方程工具变量回归（完）
OLS能够成立的假设之一是解释变量与扰动项不相关。否则，OLS估计量将是不一致的，即无论样本容量多大，OLS估计量都不会收敛到真实的总体参数。然而，解释变量与扰动项相关的例子却很多1，解决方法之一就是本讲介绍的工具变量法。
从历史上看，工具变量估计和联立方程系统是同时教授的，更老的教科书仅在联立方程中描述工具变量估计。然而在最近的几十年，内生性的处理和工具变量估计已经呈现出更广阔的前景，而对于联立方程完整系统设定的兴趣已经减弱。最新的教材，如Cameron & Trivedi (2005)，Davidson & MacKinnon (1993, 2004)和Wooldridge (2010, 2013)，把工具变量估计看作现代经济学家的工具包中不可或缺的一部分，用更长的篇幅介绍它，而缩短对联立方程的讨论。
在回归方程中，一个有效（valid）的工具变量应满足以下两个条件： （1）相关性：工具变量与内生解释变量相关； （2）外生性：工具变量与扰动项不相关。
但是，工具变量的这两个条件常常矛盾，即与内生解释变量相关的变量往往与扰动项也相关。故在实践上，寻找合适的工具变量通常比较困难，需要一定的创造性与想象力。寻找工具变量的步骤大致可以分为两步：
（1）列出与内生解释变量相关的尽可能多的变量的清单（较容易） （2）从这一清单中剔除与扰动项相关的变量（较困难）
传统的工具变量法一般通过“两阶段最小二乘法”（2SLS）来实现，顾名思义，即作两个回归。可以证明，在扰动项的经典假定下，由2SLS得到的工具变量线性组合是所有线性组合中最渐近有效的2。这个结论类似于小样本理论中的高斯—马尔可夫定理。
第一阶段回归：用内生解释变量对工具变量回归，得到内生解释变量的拟合值。
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在计量经济学中，把所有与扰动项相关的解释变量都称为“内生变量”。 在条件同方差的情况下，最优GMM还原为2SLS，而最优GMM是渐近有效的。
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第二阶段回归：用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回归，得到被解释变量的拟合值。
ivregress — Single-equation instrumental-variables regression 命令语法：
ivregress estimator depvar [varlist1] (varlist2= varlistiv) [if] [in] [weight] [, options]
estimator 2sls liml gmm 描述 两阶段最小二乘法(2SLS) 有限信息最大似然法(LIML) 广义矩估计(GMM)
命令描述：
ivregress拟合被解释变量depvar对varlist1和varlist2的线性回归，使用varlistiv作为varlist2的工具变量，varlist1和varlistiv是外生（解释）变量，varlist2是内生（解释）变量。ivregress可以利用两阶段最小二乘法(2SLS)，有限信息最大似然法(LIML)和广义矩估计(GMM)执行工具变量估计。
备注和示例
ivregress执行工具变量回归和加权工具变量回归。对于工具变量的一般讨论，请参见Baum (2006)，Cameron和Trivedi (2005；2010，第6章)，Davidson和MacKinnon (1993，2004)，Greene (2012，第8章)，以及Wooldridge (2010，2013)。参见Hall (2005)对于GMM估计的明晰介绍。Angrist和Pischke (2009，第4章)非正式而全面地介绍了工具变量估计量，包括他们在估计处理效应的使用。
ivregress的语法假设从方程系统拟合一个方程，或拟合一个不用指定剩余方程的函数形式的方程。为了拟合一个完整的方程系统，使用2SLS equation-by-equation或三阶段最小二乘法，请参阅[R] reg3。ivregress的一个优点是，可以拟合多方程系统中的一个方程，而不用指定剩余方程的函数形式。
形式上，由ivregress拟合的模型是：
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yi = ziβ1 + x1iβ2+ ui (1) zi = x1iΠ1 + x2iΠ2 + vi (2) 其中yi是第i个观测值的因变量，zi表示内生回归元（varlist2），x1i表示包括的外生回归元（varlist1），x2i表示排除的外生回归元（varlistiv）。x1i 和x2i统称为工具。ui和vi是零均值误差项，ui和vi元素的相关性假设是非零。
2SLS and LIML estimators
最常用的工具变量估计量是2SLS。 例1：2SLS estimator
我们有从1980年以来的州人口普查数据，包括自有住房价值的中位数(hsngval)和每月总租金的中位数(rent)。我们想构建rent为hsngval和生活在城市地区的人口比例(pcturban)的函数：
renti =β0 +β1hsngvali+β2pcturbani+ ui 其中i表示各个州，ui是误差项。
因为随机冲击影响一个州的租金价格，也可能会影响房屋价值，所以我们把hsngval看作是内生的。我们相信hsngval和u的相关性不等于零。另一方面，我们没有理由相信pcturban和u的相关性不为零，所以我们假设pcturban是外生的。
因为把hsngval当作内生回归元，所以必须有一个或多个与hsngval相关但与u不相关的其他变量。此外，这些排除的外生变量不能直接影响rent，因为如果它们影响rent的话，就应该包含在前面指定的回归方程中。另外，家庭收入变量(faminc)和地区变量(region)，与hsngval相关但与误差项u不相关。总之，pcturban，faminc和因子变量2.region，3.region和4.region构成了一套工具变量。
为了拟合方程，我们指定了因变量和包括外生变量的自变量。在括号中，我们指定了内生回归元，一个等号，和排除的外生变量。其他外生变量必须指定在等号的右边；出现在回归方程中的外生变量自动纳入工具变量。
use hsng,clear
ivregress 2sls rent pcturban (hsngval = faminc i.region)
正如所期望的，具有更高房屋价值的州有更高的租金价格。生活在城市地区的州人口比例对租金没有显著影响。
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技术说明
在联立方程的框架下，写出前面拟合的模型为：
hsngvali=π0 +π1faminci +π22.regioni+π33.regioni+π44.regioni+ vi renti =β0 +β1hsngvali+β2pcturbani+ ui
方程系统是递归的，因为hsngval出现在rent的方程中，但rent并没有出现在hsngval的方程中。然而，在一般情况下，联立方程系统不是递归的。由于系统是递归的，我们可以用OLS分别拟合这两个方程，如果我们愿意假设u和v是独立的。
例2：LIML estimator
理论和Monte Carlo模拟表明，LIML估计量比2SLS估计量可能会得到更小的偏差，并且置信区间的覆盖率更好。
use hsng,clear
ivregress liml rent pcturban (hsngval = faminc i.region)
这些结果与2SLS结果定性相似，尽管hsngval的系数比2SLS的系数高19%左右。
例3：GMM estimator
在扰动项的经典假定下，2SLS是最有效率的。但如果扰动项存在异方差或自相关，则存在更有效的方法，即“广义矩估计”（Generalized Method of Moments，GMM）。在某种意义上，GMM之于2SLS，正如GLS之于OLS。
从Hansen (1982)的著名论文以来，GMM已成为了经济学和金融学的常用估计方法，它非常适用于工具变量估计。对于更一般的GMM估计量，参见[R] gmm。gmm不限定拟合单个的线性方程，尽管语法更复杂。
use hsng,clear
ivregress gmm rent pcturban (hsngval = faminc i.region) , wmatrix(robust) （wmatrix(robust)是默认选项。指定wmatrix(robust)项要求一个最优加权矩
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