2020年中考数学 - 微专题 利用二次函数性质求最值 习题

第三章 函 数

微专题 利用二次函数性质求最值 综合提升

1. (2019连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )

第1题图

A. 18 m2 B. 183 m2 C. 243 m2 D.

4532

m 2

2. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162－3x.

(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式；

(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．

3．(2019天水)天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

第3题图

4. (2019梧州)我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

参考答案 综合训练

1. C 【解析】设BC的长为x m，则CD＝(12－x)m，如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝

31

x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S22

梯形

ABCD＝

11

(CD＋AB)·CE＝(1222

133323363

－x＋12－x＋x)×x＝－x＋63x，∵－<0，∴当x＝－＝8时，面积有最大值，最

228833

2×（－）

8332

大值为－×8＋63×8＝243(m2)．

8

第1题解图

2. 解：(1)由题意得，每件商品的销售利润为(x－30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x－30)， 又∵m＝162－3x， ∴y＝(162－3x)(x－30)， 即y＝－3x2＋252x－4860， ∵x－30≥0， ∴x≥30. 又∵m≥0，

∴162－3x≥0，即x≤54. ∴30≤x≤54.

∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x2＋252x－4860(30≤x≤54)； (2)由(1)得y＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，

∴当售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元． ∵500＞432.

答：商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元． 3. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，

?10k＋b＝30?k＝－1??

将(10，30)，(16，24)，代入，得?，解得?，

??16k＋b＝24b＝40??

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40，

(2)根据题意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225， ∵a＝－1＜0，

∴当x＜25时，W随x的增大而增大． ∵10≤x≤16，

∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.

答：每件销售价为16元时，每天销售利润最大，最大利润为144元．

x－6

4. 解：(1)由题意得，销售单价为x元时，每天的销售量为(100－5×)件，每件文具的销售利润为(x

0.5－5)元，

x－6

∴当天的销售利润为y＝(x－5)(100－5×)＝－10x2＋210x－800，

0.5即y与x的函数关系式为y＝－10x2＋210x－800； (2)当天销售利润不低于240，即y≥240， 令－10x2＋210x－800＝240. 解得x1＝8，x2＝13，

∵a＝－10<0，抛物线开口向下， ∴当8≤x≤13时，y≥240，

答：要使当天的销售利润不低于240元，当天的销售单价所在范围为8≤x≤13； (3)∵每件文具的利润不超过80%， ∴

x－5

≤0.8， 5

解得x≤9，

∴每件文具的销售单价为6≤x≤9.

21605

由(1)得y＝－10x2＋210x－800＝－10(x－)2＋，

2221

∵对称轴为直线x＝，a＝－10<0，

2∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，

∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为y＝－10×(9－

212605

)＋＝280. 22

答：要想当天获得利润最大，每件文具售价为9元，最大利润为280元．