高等数学电子讲义积分上限函数严钦容版 - 图文

? 高等数学 ? 第五章 定积分及其应用

[严钦容的电子讲义]

高等数学 · 第五章

定积分及其应用

1. 问题的背景

2. 定积分的定义 3. 定积分的性质 4. 变上限函数

5. 微积分基本定理 6. 定积分换元积分法 7. 定积分分部积分法

8. 广义积分

9. 定积分应用的元素法 10. 平面图形的面积 11. 空间立体的体积 12. 平面曲线的弧长 13. 定积分的物理应用 14. 典型例题回顾

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? 高等数学 ? 第五章 定积分及其应用

4. 变上限函数

设f(x)?C[a,b],[a,x]上的定积分yy?f(x)dxt,,?x?[a,b],?af(tx))d确定了一个定义域为[a,b]的函数.x?(x)??af(t)dt,?x?[a,b].xxOaxbx[定理1] 设f(x)?C[a,b],则?(x)??af(t)dt在[a,b]上可导且dx??(x)??af(t)dt?f(x)(a?x?b).dx证 ?x?(a,b),取?x使得x??x?(a,b),则x??x????(x??x)??(x)??a??x湖北汽车工业学院

f(t)dt??af(t)dtxx??xf(t)dt?f(x???x)?x,其中0???1.[2010-2011-1] 2010 级 · 高数6班

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x4 变上限函数 [定理1] 设f(x)?C[a,b],则?(x)??af(t)dt在[a,b]上可导且dx??(x)??af(t)dt?f(x)(a?x?b).dx证

?x?(a,b),取?x使得x??x?(a,b),则????(x??x)??(x)??a??x于是,x??xx??xf(t)dt??af(t)dtxf(t)dt?f(x???x)?x,其中0???1.???limf(x???x)?f(x).lim?x?0?x?0?x对点x?a,取?x?0,???(a)?limf(a???x)?f(a).?x?0?对点x?b,取?x?0,???(b)?limf(b???x)?f(b).?x?0?湖北汽车工业学院

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x4 变上限函数 [定理1] 设f(x)?C[a,b],则?(x)??af(t)dt在[a,b]上可导且dx??(x)??af(t)dt?f(x)(a?x?b).dx[定理2] (原函数存在定理) 设f(x)?C[a,b],则?(x)??af(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个x原函数.湖北汽车工业学院 [2010-2011-1] 2010 级 · 高数6班

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4 变上限函数 例1 求函数I(x)??0tedt的极值.解 显然,I(x)??0tedt在(??,??)内可导,且x?t2x?t2I?(x)?(?0tedt)??xe令I?(x)?xe?x2x?t2?x2.?0得I(x)的驻点x?0.当x?0时,I?(x)?0;当x?0时,I?(x)?0,所以x?0是I(x)的极小值点,且极小值为I(0)?0.湖北汽车工业学院 [2010-2011-1] 2010 级 · 高数6班