(0264)《概率论》复习思考题答案

?A1A2?A,故P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1.

3. 证明:充分性：

P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)??P(B)P(B)1?P(B)P(AB)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)?P(B)P(AB) P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)必要性:

?P(AB)?P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)???P(A)P(B)P(B)

同理P(AB)?P(AB)P(A)P(B)??P(A)P(B)P(B)故结论成立。 4. 证明: AB?AB5.证明：

??1A?B?AB?AB?AB???A?B??AB??AB???B?A.

11112?E?k?k??(?k3)?0,D?k?E?k?(k3)2?(?k3)2??k3,2222 22n11n1n311当??k?独立时,2D(??k)?2?D?k?2?k?2?n?n3?1?0(n??).nnk?1nk?1nk?1n313112?k?满足马尔可夫条件,从而??k?服从大数定律. 故?6． 证明:因为?Xn?为独立同分布，且

EXn??k?1????2k11???. k22kk?1k2因为

?kk?1??12为p=2的p-级数是收敛的，故EXn存在。由辛钦大数定律知结论成立。

?2e?2x7. 证明：p?(x)???0?e?yp?(y)???0x?0其他y?0其他，

；

因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，故?与?相互独立。

8、

证明:设F(x)为 ? 的分布函数,???0?21 P(??E???)??dF(x)??dF(x)?2?2x?E???x?E?????2 9.

?1x?E???2(x?E?)dF(x)?

?????(x?E?)2dF(x)?D??2.证明：因为??1?t??q?peit,??2?t??q?peit??n???t?????t????t???q?peit??q?peitn12?????q?pe?mmitn?m,

由反演公式唯一性定理知，?＝?1＋?2～B(n＋m,p).10.证明： 已知二项分布的特征函数为

由，则

即为参数为的泊松分布的特征函数，由逆转定理结论成立。

11. 证明：

的特征函数为 ，

。

。

，

从而 同理 而 故

12.

证明:设F(y)为?的分布函数,?x P(??x)??y?x?dF(y)?y?x?g(x)1dF(y)?g(x)g(x)y?x?g(y)dF(y)

1??1g(y)dF(y)?Eg(?).g(x)???g(x)五、阐述题：（根据书上的内容综合作答,以下只是回答要点） 1. 答：

问题：在一个半径为r的圆内“任意作一弦”，试求此弦长度L大于圆内接等边三角形的边长3r的概率。

解1：在半径为

r1的同心圆内任取一点，以它为中心作弦，可得其概率为； 2413；

解2：设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为

解3：在圆内取一直径EF，然后在EF上随机的取一点为中心作弦，可得其概率为

12；

原因是“任意作一弦”没交代清楚。

2.答：

随机事件概率的定义有四个：它们是统计定义、古典定义、几何定义、公理化定义。 统计定义：用频率在试验次数n越来越大时所稳定的数，定义为事件的概率。特点:直观但不够精准；

古典定义：P(A)?A的有利场合数。特点:应用广，但对空间有要求；

样本空间的基本事件数A的测度。特点:解决了无限样本空间、等可能的概率定义，但对

?的测度几何定义：P(A)?空间有要求；

公理化定义：概率是事件域上满足1)非负性，2）规范性，3)可列可加性的集合函数。特点:定义严谨、准确，但太抽象，不利于初学者对概率的实际意义的理解。