第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
[题型分析·高考展望] 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.
体验高考
→→
1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则BD·CD等于( ) 3333A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2
2442答案 D
解析 如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
1
－?＝3a2， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×??2?∴BD＝3a.
33→→→→
∴BD·CD＝|BD||CD|cos 30°＝3a2×＝a2.
222.(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝ππ3π
A. B. C. D.π 424答案 A
解析 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝b〉＝θ，
即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0， 8222∴|b|2－|b|·cos θ－2|b|2＝0， 33
22
|b|，设〈a，322|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( ) 3
∴cos θ＝
2π.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 24
3.(2015·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a·b|≤|a||b| C.(a＋b)2＝|a＋b|2 答案 B
解析 对于A，由|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.
4.(2016·课标全国乙)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝______. 答案 －2
解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.
5.(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝1－x2上一个→→
动点，则BP·BA的取值范围是________. 答案 [0，1＋2]
解析 由题意知y＝1－x2表示以原点为圆心，半径为1的上半圆.设P(cos α，sin α)，α∈[0，→→
π]，BA＝(1，1)，BP＝(cos α，sin α＋1)， →→
所以BP·BA＝cos α＋sin α＋1 π
＝2sin(α＋)＋1∈[0，1＋2]
4→→
BP·BA的范围为[0，1＋2].
B.|a－b|≤||a|－|b|| D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
高考必会题型
题型一 平面向量数量积的基本运算
→→→
例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM→→→→→
＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等于( ) A.20 B. 15 C.9 D.6
→→→1→→
(2)(2015·福建)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝
t→→AB4AC→→＋，则PB·PC的最大值等于( ) →→|AB||AC|
A.13 B.15 C.19 D.21 答案 (1)C (2)A
1→1→→→3→→→→→→1→→1→
解析 (1)AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB
44341211→→→
－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.
4848(2)建立如图所示坐标系，则
1?1→→
，0，C(0，t)，AB＝?，0?，AC＝(0，t)， B??t??t?
→→
1→AB4AC?1?4→→
－1，－4?·(－1，t－4)AP＝＋＝t?t，0?＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝?t??t→→
|AB||AC|1
＋4t?≤17－2＝17－??t?
1·4t＝13，故选A. t
点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.
(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.
→→→→→
变式训练1 在△ABC中，AD⊥AB，BC＝23 BD，|AD|＝1，则AC·AD等于( ) A.23 B.3 C.答案 A
→→
解析 在△ABC中，BC＝23 BD，
→→→→→→→→所以AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝(AB＋23 BD)·AD， →→→
又因为BD＝AD－AB，
→→→→→所以AC·AD＝[(1－23)AB＋23 AD]·AD →→→→
＝(1－23)AB·AD＋23 AD·AD →→→
＝(1－23)AB·AD＋23 AD2，
→→→→
因为AD⊥AB，所以AD⊥AB，所以AD·AB＝0， →→
所以AC·AD＝(1－23)×0＋23×1＝23，故选A. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角
33 D. 23
例2 (1)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) 2πππ
A. B. C. D.0 336
(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是( ) πππ2π
0，? B.?0，? C.?0，? D.?，π? A.??6??3??6??3?答案 (1)B (2)D
解析 (1)设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1，2，3，4)均由2个a和2个b排列而成，记S＝? (xi·yi)，则S有以下三种情况：
i＝14
①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cos θ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cos θ. 1易知②最小，即8|a|2cos θ＝4|a|2，∴cos θ＝，
2π
又0≤θ≤π，∴θ＝，故选B.
3
(2)设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－116)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|·cos θ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cos θ＝|a|2cos
422π?11
θ≤－|a|2，解得cos θ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是??3，π?，42故选D.
点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.
变式训练2 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C
解析 设a与b的夹角为θ，
由题意得|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，可得2a·b＋b2＝2|a|·|b|cos θ＋b2＝2|a|·|a|cos θ＋|a|2＝0，解1
得cos θ＝－，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，故选C.
2题型三 利用数量积求向量的模
例3 (1)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________. 答案 (1)32 (2)5
解析 (1)由|2a－b|＝10，则|2a－b|2＝10，及4a2－4a·b＋b2＝10，又向量a，b的夹角为45°，π
且|a|＝1，所以4×1－4×1×|b|cos ＋|b|2＝10，即|b|2－22|b|－6＝0，解得|b|＝32.
4(2)方法一 以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
→→
→→
∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)， →→
∴PA＋3PB＝(5，3a－4x)， →→
|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25， →→
∴|PA＋3PB|的最小值为5. →→
方法二 设DP＝xDC(0＜x＜1)，
→→→→→→→∴PC＝(1－x)DC，PA＝DA－DP＝DA－xDC， →→→→1→PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋DA，
2→→5→→∴PA＋3PB＝DA＋(3－4x)DC，
2
25→5→→→→→→
|PA＋3PB|2＝DA2＋2××(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2DC2＝25＋(3－4x)2DC2≥25，
42→→
∴|PA＋3PB|的最小值为5.
点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝x2＋y2即可求解.
(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝a2.
π
变式训练3 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝22，a与b的夹角为，(c－a)·(c－a)＝－1，
4则|c－a|的最大值为( )
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