§5.4 复 数
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类：
满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数?b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
→
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)． 2．复数的几何意义
→
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
→→→
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，—→→→Z1Z2＝OZ2－OZ1.
概念方法微
1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示 不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．
思考
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．
( √ )
题组二 教材改编
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 答案 A
2??x－1＝0，
解析 ∵z为纯虚数，∴?∴x＝－1.
?x－1≠0，?
→→→
3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案 D
→→→
解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于( ) 17A．－－i
5517C．－－i
2525
17B．－＋i 5517D．－＋i
2525
答案 D
1－i?1－i??3－4i?－1－7i
解析 由题意可得z＝＝＝，
253＋4i?3＋4i??3－4i?17
所以z＝－＋i，故选D.
2525题组三 易错自纠
1－i
5．(2020·山东模拟)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于( )
1＋i11
A．－1 B．－ C. D．1
22答案 D
1－i?1－i??1－i?
解析 由＝＝－i，
1＋i?1＋i??1－i?
从而知a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1， 从而a＋b＝1.
6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B
2－2i?2－2i?·?－i?解析 由题意，∵z＝＝＝－2－2i，
ii·?－i?
∴z＝－2＋2i，则z的共轭复数z对应的点在第二象限．故选B. 7．(多选)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，下列四个结论中正确的是( ) A．αβ＝1 α?
C.??β?＝1 答案 BCD
解析 对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i， A项，αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故A不正确；
α1－i?1－i??1－i?－2iB项，＝＝＝＝－i，故B正确；
β1＋i?1＋i??1－i?2α?C项，??β?＝|－i|＝1，故C正确；
D项，α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故D正确．故正确的结论为BCD.
α
B.＝－i β
D．α2＋β2＝0 B．第二象限 D．第四象限
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