2020年中考数学压轴题复习：二次函数综合题(18)

2020年中考数学压轴题复习：二次函数综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么 （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；

（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；

（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．

【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；

（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；

（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．

【解答】解：（1）∵OA＝12，OB＝6，由题意，得BQ＝1×t＝t，OP＝1×t＝t． ∴OQ＝6﹣t．

∴y＝×OP×OQ＝×t（6﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y＝﹣t2+3t， ∴当y有最大值时，t＝3

∴OQ＝3，OP＝3，即△POQ是等腰直角三角形．

把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形． ∴点C的坐标为（3，3）．

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∵A（12，0），B（0，6）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6 当x＝3时，y＝≠3， ∴点C不落在直线AB上； （3）

①若△POQ∽△AOB时，②若△POQ∽△BOA时，∵0≤t≤6，

∴t＝4和t＝2均符合题意，

∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．

，即，即

，12﹣2t＝t，∴t＝4． ，6﹣t＝2t，∴t＝2．

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