2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答（A卷）

2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分 1．设实数a满足a?9az,w3?11a?|a|，则a的取值范围是 2．设复数z,w满足|z|?3，(z?w)(z?w)?7?4i，其中i是虚数单位，3．正实数u,v,w均不等于1，若logw分别表示z,w的共轭复数，则(z?2w)(z?2w)的模为 uvw?logvw?5，logvu?logwv?3，

则logu的值为 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三

AP?点，满足?ABC=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，

2，

则二面角M—BC—A的大小为

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6．设函数f(x)?sin4kxkx?cos41010，其中k是一个正整数．若对任

意实数a，均有{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为 7．双曲线C的方程为

2y2x??132，左、右焦点分别为F、F，

12过点F作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得

?F1PQ=90°，则?FPQ的内切圆半径是 112348．设a,a,a,a是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2

则这样的有序数组(a,a,a,a)的个数为 1234二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）在

AB?AC?2BA?BC?3CA?CB?ABC中，已知

．求sinC的最大值．

10．（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，

)?xf(x)． 且对任意x?0，均有f(xx?11111111)?f()f()?f()f()?…?f()f()的值． 求f(1)f(10029939850512016年全国高中数学联合竞赛一试第3页，共24页

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆C,C12均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆C与C的面积

12之和取到最小值．

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2016年全国高中数学联合竞赛加试

一、（本题满分40分）设实数a,a,…,a满足9a122016i?11ai2?1(i?1,2,…

,2015)。求(a122?a2)(a2?a3)…(a20152?a2016)(a2016?a12)的最大值。

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