07指数模型和套利定价理论

七指数模型和套利定价模型

第七章 指数模型和套利定价模型

以均值-方差理论为基础的资本资产定价模型在理论上非常完美，但在实际应用中却存在较大困难。指数模型和套利定价理论（APT）的一大优点就在于具有很高的使用价值。指数模型又称因素模型，大大简化了资产组合选择模型和资本资产定价模型的计算，通过引入共同因素，为公司系统风险和特有风险的性质研究提供了重要的新视角。产生于20世纪70年代的套利定价理论，是一种因素模型推导出的资产定价均衡关系的新的理论方法。该理论假设证券的收益率与未知数量相联系，以资产收益率形成的多指数模型为基础，利用无套利定价的思想来定义均衡。当不考虑（无风险）套利机会时均衡市场价格是合理的，这正是资本市场定价理论最核心的命题——无套利均衡。

7.1 指数模型 7.1.1 指数模型的产生

1、资本资产定价模型应用中的两大问题

CAPM非常直观的表达了投资风险收益的特征关系，对投资策略的选择有重要意义，但在实际应用中存在以下问题：

1）要计算市场组合，计算量非常巨大。根据资产组合理论，

E(Rp)??[xiE(Ri)]，?p??xi?i???xixj?ij?i?j（i?j）

222i?1nnnni?1i?1j?1这需要计算组合中n种资产的预期收益，n个标准差以及n(n-1)/2个相关系数。一般投资机构需要动态跟踪上千种证券的行情，n数目非常巨大。如果n=1000，则投资人员需要收集和计算的数据就达到501500个，这显然给证券分析和管理带来极大的困难。

2）证券市场线实际上只考虑市场组合的预期收益率对证券或资产组合的预期收益率的影响，即把市场风险（系统风险）全部集中的表现在一个因素中，这样过于笼统，并没有把影响证券收益的宏观经济变量（如国民收入、利率、通货膨胀率、能源价格等）考虑在内。

为解决这两个问题，这里引入了指数模型，又称为因素模型，这是建立在证券收益率对各种因素或者指数变动的敏感度这一假设基础上的。因素模型试图提取那些系统的影响所有证券价格的主要经济力量，对证券收益率的生成过程进行说明。

2、指数模型的提出

1963年，夏普提出了单指数模型，以简化资产组合理论应用于大规模市场面临的复杂计算问题。单指数模型是描述证券收益率生成过程的一种模型，以证券关联性为基础，认为证券间的关联性是由于某种共同的因素造成的，不同的证券对这些共同的因素有不同的敏感度。这些共同因素就是系统性风险。指数模型正是抓住了对这些系统影响证券收益率的因素，并用一种线性关系来表达这些共同因素与证券收益率之间的关系。这些共同因素常以指数形式出现，如GDP指数、物价指数、股价指数等，因此将这种证券收益与共同因素间的线性关系称为指数模型。

夏普的单指数模型有两个重要的基本假设：一是证券的风险分为系统性风险和非系统性

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风险，因素对非系统性风险不产生影响；二是一个证券的非系统性风险对其他证券的非系统性风险不产生影响，两种证券收益率仅仅通过因素的共同反应而相关联。这两个假设就意味着Cov(rm,?i)?0和Cov(?i,?j)?0成立，这就在很大程度上减少了计算量。

由此可见，指数模型是一种假设证券收益率只与不同因素或指数的运动有关的经济模型。作为一种收益率产生过程，指数模型具有以下三个特点：1）指数模型中的因素应是系统影响所有证券价格的经济因素；2）在构造指数模型中，两个证券的收益率相关，这是由于它们对共同因素运动的共同反应导致的；3）证券收益率中不能由指数模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券收益率的特有部分无关，也与因素的运动无关。指数模型在证券组合管理中应用于证券组合选择过程中，减少估计量和计算量以描述证券组合对因素的敏感度。如果假设证券收益率满足指数模型，那么证券分析的基本目标就是辨别这些因素以及证券收益率对这些因子的敏感度。

7.1.2 单指数模型

1、什么是单指数模型

单指数模型把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。单指数模型认为收益形成过程只包括唯一的因素，假设：

ri?ai?biF??i

其中ri为风险资产的收益率，F为决定ri的唯一因素，ai为截距项，即与F无关的因素的作用，又称为零因子；bi为第i个证券对因素F的敏感性系数，εi为随机误差项。根据指数模型的一般假设有：

E(?i)?0，Cov(F,?i)?0，Cov(?i,?j)?0(i?j)

这些假设的含义是：随机误差项εi的期望值为0，即平均来看，既不会产生正向偏离，也不会产生负向偏离；协方差Cov(F,?i)为0表示随机误差项εi与因素F无关，它包含的是因素以外的其他信息；同时，不同证券的随机误差项也是不相关的。

由假设容易得出证券i的预期收益为：

E(ri)?ai?biE(F)

证券i的方差为：

?i2?bi2?2(F)??2(?i)

例：假定证券i的收益率由GDP这一因素决定，为此，收集该证券与同期GDP增长率的数据如下： 1 2

GDP增长率（%） 5.7 6.4 证券i的收益率（5） 14.3 19.2 2

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3 4 5 6

7.9 7.0 5.1 2.9 23.5 15.6 9.2 13.0 在下图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示证券i的收益率，图上各点表示上表中给定年份证券i的收益率与GDP增长率的关系。

按单因素模型，证券i的收益率与GDP增长率之间存在着线性关系，可表示为：

ri?ai?biGDPt??iy

对这组数据进行回归分析得出两者的回归方程为：

ri?4%?2GDPt??it

将直线在上图中画出。在上图中，零因子为4%，表明当GDP的预期增长率为零时，证券i的收益率为4%，图中直线的斜率为2，表示证券i的收益率对GDP增长率的敏感度，这个值高表明高的GDP预期增长率一定伴随着高的证券收益率。如果GDP的预期增长率为5%，则证券i的收益率为14%；如果GDP的预期增长率增加1%，即为6%时，证券i的收益率增加2%，即为16%。在本例中，第6年的GDP预期增长率为2.9%，证券i的实际收益率为13%。因此，证券i收益率的特有部分（由εi给出）为3.2%。

对于证券组合而言，任何证券i和证券j的残差值不相关，则组合p的单指数模型可表示为：

rp?ap?bpF??P

2、单指数模型两个重要的性质

1）能大大简化均值-方差分析中的估计量和计算量

在前面的分析中，风险资产组合有效集的计算往往要面临巨大的计算量，在确定切点组合时，需要对所有证券的预期收益率、方差和斜方差进行估计，而单指数模型的引入，可以大大减少有效集的计算量。

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根据单指数模型，资产i和j的协方差为：

Cov(ri,rj)?Cov(ai?biF??i,aj?bjF??j)

由于单指数模型假定公司i的特有因素与公司j相独立，即公司i发生某些失败或成功的事件，也不影响公司j发生失败或成功的概率，也就是说Cov(?i,?j)?0，而且还假定对收益率拟合直线的偏离度εi也独立于共同因素F之外，即Cov(F,?i)?0，同时由于ai和aj、bi和bj都是固定的，Cov(F,F)??F，根据这些条件，两种资产的协方差可表示为：

2Cov(ri,rj)?Cov(ai?biF??i,aj?bjF??j)2?Cov(biF??i,bjF??j)?Cov(biF,bjF)?bibj?F

可见，由于单指数模型假定证券收益率只对一个共同因素进行反应，投资者只需要对ai、bi和εi进行估计就可以了，当然还必须知道共同因素的标准差?F就可以对资产组合总体估计和计算。投资者所需要计算的数据量为n个ai、n个bi和n个εi参数值，再加上两因素预期值与标准差，共计3n+2的数值。若n=1000，则只需计算3002个数据，与前面所指出的501500个数据相比，大大简化了均值-方差分析中的估计量和计算量。

2）能实现投资风险的分散化

对于单指数模型而言，分散化投资可以降低组合的因素风险和非因素风险。对于任意证券i而言，其方差为：

?i2?bi2?F2???i2

222bi?F为证券i的因素风险，而??i称为证券i的非因素风险。在单指数模型中，组合

方差为：

?p2?bp2?F2???p2

其中，bp??wibi，??p??wi??i

222i?1i?1nn可见，对于任何投资组合而言，组合总风险与单一证券风险一样，都可以分解为两部分，在上式中bp2?F2和??p2分别表示组合的因素风险和非系统性风险。

当组合中的证券种类增多时，每种证券的比例wi将趋向变小。因素风险中的bp是证券敏感度bi的加权平均，其数值并不随投资比例的变化而出现显著上升或下降，但随着证券组合中证券种类的增多而呈现因素风险bp22?F2的平均化趋势。

但对于非因素风险??p而言，组合的分散化可以使其风险值显著下降。为便于证明，

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