5
(1)虚轴长为12，离心率为4； (2)焦距为26，且经过点M(0,12)．
(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2y2y2x2
a2－b2＝1或a2－b2＝1(a＞0，b＞0)．
c5
由题意知，2b＝12，e＝a＝4.∴b＝6，c＝10，a＝8. x2y2y2x2
∴双曲线的标准方程为64－36＝1或64－36＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25. y2x2
∴双曲线的标准方程为144－25＝1. (3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)． ?9m－28n＝1，∴?
?72m－49n＝1，
1m＝－，??75解得?1
n＝－??25.
y2x2
∴双曲线的标准方程为25－75＝1.
考点三 双曲线的几何性质
x2y2
【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
x2y2
(2)设F1，F2分别为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双
曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )．
A．3x±4y＝0 C．4x±3y＝0
B．3x±5y＝0 D．5x＋4y＝0
解析 (1)因为PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°， 13
所以|PF2|＝2|F1F2|＝c，|PF1|＝2|F1F2|＝3c. 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a， c
即3c－c＝2a，所以离心率e＝a＝3＋1.
(2)设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|＝?2c?2－?2a?2＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故b4
双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±3y＝0.
a3x，即4x±答案 (1)3＋1 (2)C
规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程． (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
x2y2x2y2
(2)求曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令a2－b2＝0，即得两渐近线xy方程a±b＝0.
x2y2
【训练3】 (1)设点P在双曲线a2－b2＝1(a，b＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为
________．
解析 (1)由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a， 28所以|PF2|＝3a，|PF1|＝3a， 8??3a≥c＋a，所以?2
??3a≥c－a，
5c55
整理得3a≥c，所以a≤3，即e≤3，
5
又e＞1，所以1＜e≤3.
c2－a24b2
(2)当焦点在x轴上时，a＝3，即a2＝9， 1313
所以e2＝9，解得e＝3；
c2－a29b3
当焦点在y轴上时，a＝2，即a2＝4， 1313
所以e2＝4，解得e＝2， 1313
即双曲线的离心率为2或3. 5?1313?
答案 (1)?1，3? (2)2或3 ?? 一定要把握好它们的区别和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、
1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但
虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．
教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质
x2y2
【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线C：a2－b2＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B?与
C的两条渐近线分别交于P，Q两点，?线段PQ的垂直平分线?与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，? 则C的离心率是 23A.3
( )． D.3
6
B.2 C.2
[审题] 一审：求出直线F1B的方程． 二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．
三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标． 四审：由|MF2|＝|F1F2|建立关系式，求出离心率．
by＝??cx＋b，b
依题意，知直线F1B的方程为y＝cx＋b，联立方程?xy
??a－b＝0，
解析
得点
bc??ac
Q?c－a，c－a?， ??b
y＝??cx＋b，
联立方程?xy
??a＋b＝0，
acbc??
－，得点P?c＋ac＋a?， ??
22
?acc?所以PQ的中点坐标为?b2，b?.
??
c2c?a2c?
所以PQ的垂直平分线方程为y－b＝－b?x－b2?.
??a2?a2???
令y＝0，得x＝c?1＋b2?，所以c?1＋b2?＝3c.
????
6
所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝2.故选B. 答案 B
[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本
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