命题点1 空间几何体的表面积
例1 (2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122π C．82π 答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x， 则由x2＝8，得x＝22，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. 命题点2 求简单几何体的体积
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
B．12π D．10π
A．3 C．1 答案 C 解析 如题图，
因为△ABC是正三角形， 且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高． 1
所以V三棱锥A－B1DC1＝S△B1DC1·AD
31
＝×3×3＝1. 3
思维升华 空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
5
3B. 2D.3 2
(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解．
跟踪训练1 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．
答案
23
3
解析 VD－A1BC＝VB1－A1BC 123＝VA1－B1BC＝×S△B1BC×3＝. 33题型三 与球有关的切、接问题
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( ) 31713
A. B．210 C. D．310
22答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M. 15又AM＝BC＝，
221
OM＝AA1＝6，
2
所以球O的半径R＝OA＝ 引申探究
1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
6
?5?2＋62＝13.
?2?2
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 44
从而V外接球＝πR3＝π×(23)3＝323π，
334432π
V内切球＝πr3＝π×23＝.
333
2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×
32
·a＝3a2，其内切球半径r为正四4
1166πa2S13a2632
面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝2＝. 443126S2πaπ
63．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为
1?2
?32?2－? ?2×6?＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心． (2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
跟踪训练2 (2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( ) A．123 B．183 C．243 D．543 答案 B
解析 由等边△ABC的面积为93，可得所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝
3
AB＝23. 3
32
AB＝93， 4
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2. 所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
1
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×93×6＝183.
3
7
1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 C．两个圆柱、一个圆台 答案 D
解析 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：
B．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥
2．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( ) 32168A．32 B. C. D. πππ答案 B
832
解析 若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；
ππ432
若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.
ππ3．(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( ) A．圆面 C．梯形面 答案 C
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.
4．棱长为a的正四面体的表面积是( ) A.
3233
a B.a2 C.a2 D.3a2 6124
B．矩形面
D．椭圆面或部分椭圆面
答案 D
8
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