解析 棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×32
a＝3a2. 4
5．(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似125公式V＝l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈
36942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取( ) 22
A. 7157C. 50答案 C
l?21112
解析 V＝πr2h＝π×?h＝lh， ?2π?3312π由
125157
≈，得π≈，故选C. 12π94250
25
B. 8355D. 113
6．(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A．直角三角形 C．正方形 答案 A
解析 用一个平面去截正方体，则截面的情况为：
①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；
②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；
③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 7．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④
解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③
9
B．等边三角形 D．正六边形
正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．
8．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实R
心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________.
r
答案
23
3
解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因4R23此有πr3＝πR2r.故＝. 3r3
9．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 12
1
解析 设六棱锥的高为h，则V＝Sh，
313
所以××4×6h＝23，解得h＝1.
34设六棱锥的斜高为h′， 则h2＋(3)2＝h′2，故h′＝2.
1
所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
2
10．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________． 答案 14π
解析 ∵长方体的顶点都在球O的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14. ∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×?14?2
＝14π. ?2?
11．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
10
解 设圆锥的底面半径为r，母线为l， 1
则2πr＝πl，得l＝6r.
3
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝圆锥的高h＝l2－r2＝36r2－r2＝35·r ＝35·15＝53， 7
15， 7
1115253V＝πr2h＝π××53＝π.
3377
12．若E，F是三棱柱ABC—A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A—BEFC的体积． 解 如图所示，连接AB1，AC1.
因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积． 又四棱锥A—BEFC的高与四棱锥A—B1EFC1的高相等， 所以VA—BEFC＝VA—BEFC
111
＝VA—BB1C1C. 2
1
又VA—A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
3
VABC—A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
m所以VA—A1B1C1＝，
3
所以VA—BB1C1C.＝VABC—A1B1C1－VA—A1B1C1＝12mm
所以VA—BEFC＝×＝，
233m
即四棱锥A—BEFC的体积是.
3
13．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为( )
2m
， 3
11
a3a33a32a3A. B. C. D. 6121212答案 D
解析 在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D—ABC为正四面体，D在底面的射影为正三角形的中心O，h＝OD＝ DE2－OE2＝
32126a
a－a＝， 4123
113a26a2a3
所以三棱锥D—ABC的体积为V＝Sh＝··＝. 334312
14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为42 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
答案 1
解析 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意OP＝4，PP′＝42，
42＋42－?42?2
则cos∠POP′＝＝0，且∠POP′是三角形的内角，
2×4×4π
所以∠POP′＝. 2设底面圆的半径为r， π
则2πr＝×4，所以r＝1.
2
15．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
12
相关推荐：
loading