线性空间的直和分解及相关性质
张海诚 数学计算机科学学院
摘 要：线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出
了线性空间V分解为它的线性变换的核Ker?与象Im?的直和的一个充分条件为?为幂等变换，并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解的关系。此外，也探究了直和运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。
关键词：线性变换；幂等变换；Jordan标准型；直和分解；直和运算
The straight sum decomposition of linear space and related
properties
Zhang Haicheng School of mathematics and computer science
Abstract:The theorem which is the straighe sum decomposition of linear space has
been widely applied in many fileds of mathematics. In this paper,we have established a sufficient condition that linear space V is decomposed to the direct sum of Linear transformation kernel Ker? and image Im?,which is the idempotent transformation.Besides,A theorem which is the straight sum decomposition of linear space under a linear transformation polynomial is given,and the relate result is generalized.
In addition,wo have also explored some related properties of the operations for direct sum,and the straight sum decomposition of infinite dimensional linear space.
Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard;
straighe sum decomposition; straighe sum operation
线性空间写成其子空间直和的若干方法:
一. V分解为Ker?与Im?的直和的条件 1. 问题的提出
设?是数域F上线性空间V上的一个线性变换，在V是有限维向量空间的情形，我们有：?的核Ker?与?的象Im?的维数之和等于V的维数，即：
dim Ker?+dim Im?=dim V
这就提出这样一个问题：V能否分解为?的核Ker?与象Im?的直和？ 虽然子空间Ker?与Im?的维数之和等于dim V，但是Ker?+ Im?并不一定是整个空间V。
例如，在线性空间F?x?n中，求导数D的象Im（D= F?x?n-1，D的核）=F. Ker（D）显然，F+F?x?n-1?F?x?n,更不会有F?x?n=F?F?x?n-1成立.
那么，满足什么条件，V能分解为Ker?与Im?的直和呢？
1.1V分解为Ker?与Im?的直和的条件 我们先证明一个引理.
引理1.1.1 设?是数域F上线性空间V上的一个线性变换，并且满足
，则 Ker?={ ?-?（?）：??V} . ?2=?（?为幂等变换）
证明 令W= { ?-?（?）：??V}, 先证明Ker? ?W. 对任意的?? Ker?，有?（?）=?，因此
?=?-?=?-?（?）?W，即得Ker? ?W. 其次证明，W ? Ker?.
对任意的? ?W，存在??V，使得?=?-?（?）.
2由于?2=?，则对任意的??V，有?（. ?）=?（?）2于是?（?）=?（?-?（?））=?（?）=?. -?（?）即：?（?）=?，可得：??Ker（?），因此W ? Ker?. 综上所证，可得Ker?=W，引理得证. 由引理可得如下定理：
定理1 设?是数域F上线性空间V的一个线性变换，并且满足?2=?，则有
V=Ker（?）?Im（?）证明 由引理 Ker?={ ?-?（?）：??V}. 则对任意的??V，有?=（?-?（?））+?（?）. 即：??Ker（?），所以V? Ker?+Im. +Im（?）（?）而显然有Ker?+Im. （?）（?）?V，于是V= Ker?+Im
此外，对任意的?? Ker? ?Im，有： （?）. ?? Ker?且??Im（?）由?? Ker?，得?（?）=?;而??Im，故存在??V，使得?=?（?）. （?）2此时，?=?（?）=?（=?（?）=?. ?）即：对任意的?? Ker? ?Im，有?=?. （?）由此 Ker? ?Im={?}，因此V=Ker（?）. （?）?Im（?）
1.2上述定理，条件?2=?不是必要的. 我们看下面的例子
例1 令F4表示数域F上四元列空间，取矩阵
? 1 -1 5 -1?? 1 1 -2 3?? 对任意的??F4，令?（?）=A?，则阵乘变换?A= ?? 3 -1 8 1??? 1 3 -9 7??是一个线性变换，且?的核Ker?是以A为系数矩阵的四元齐次线性方程组的解空间.
37T求解齐次线性方程组AX=?，得一组基础解系?3=（- 1 0），
22T?4=（-1 -2 0 1）. 因此Ker?=L（?3，?4）.
而?的象Im?为A的列空间，可得Im?=L（?1，?2）,这里
TT?1=（1 1 3 1），?2=（-1 1 -1 3）.
因为?1，?2，?3，?4线性无关，从而作成F4的一个基，故：
F4= Ker?+ Im?.
并且有dim F4=dim Ker?+dim Im?，因此F4= Ker?? Im?.
T但此时，?2??. 事实上，存在?1=（1 0 0 0）?F4，使得 TT?2(?1)?A2(?1)=，?（?1）=A?1=，即： （14 -1 27 -16）（1 1 3 1）?2(?1)??(?1)， 因此，?2??.
所以，在定理中，条件?2=?不是必要的.
定理1说明了线性空间V上的幂等变换?能够使V= Ker??Im?成立，即给V带来了直和分解. ?为幂等变换是V分解为Ker?与 Im?的直和的充分而不必要条件.然而，如果已知线性空间V的一个直和分解，则由该直和分解同样也可带来幂等变换.
定理2 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=U?W.任取??V，设?=?1+?2，其中?1?U，?2?W.令
?u：V?V，?=?1+?2??1.则?u是V上的一个线性变换，称?u是平行于W在U
上的投影，它满足?u（?）=
??,当??U?，当??W（1）且满足（1）式的V上的线性
变换是唯一的. 证明 由于V=U?W，因此?表示成U的一个向量与W的一个向量之和的方式唯一，
???1??2，从而?u是V到V的一个映射。任取V中两个向量?=?1+?2，其中?1、?1?U，?2、?2?W，则?1+?1?U，?2+?2?W.从而?u（?+?）=?u[（?1+?1）+
（?2+?2）]=?1+?1=?u（?）+?u（?）.
?u（k?）=?u（k?1+k?2）=k?1=k?u（?），?k?F.
因此，?u是V上的一个线性变换.
如果??U，则?=?+?，从而?u（?）=?； 如果??W，则?=?+?，从而?u（?）=?.
设V上的线性变换?也满足（1）式，任取??V，设?=?1+?2,其中?1?U，?2?W.则?（?）=?（?1+?2）=?（?1）+?（?2）=?1+?=?1 =?u（?），因此，?=?u.
类似地，定义?w（?）=?2，则?w也是V上的一个线性变换，称它为平行于U在W上的投影.
系1 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=U?W，则投影变换?u、?w均是V上的幂等变换，而且?u与?w是正交的.
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