数列
1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )． A．667
B．668
C．669
D．670
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )． A．33
B．72
C．84
D．189
3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )． A．a1a8＞a4a5
B．a1a8＜a4a5
C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于( )．
A．1
B．
1的等差数列，则 43 4 C．
1 2 D．
3 85．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).
A．81 B．120 C．168 D．192
6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．
A．4 005
B．4 006
C．4 007
D．4 008
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )． A．－4
B．－6
C．－8
D． －10
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若A．1
B．－1
a5S5＝，则9＝( )． a3S59 C．2 D．
1 2a2?a1的值是( )． b29．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则A．
1 2 B．－
1 2 C．－
11或 22 D．
1 4210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝( )．
A．38 B．20 C．10 D．9
二、填空题
11．设f(x)＝
12x?2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)
＋f(6)的值为 .
12．已知等比数列{an}中，
(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝ ． (2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝ ． (3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝ .
82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．
2314．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 . 15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ .
16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝ ；当n＞4时，f(n)＝ ．
三、解答题
17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.
(2)已知
18．设{an}是公比为 q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列． (1)求q的值；
(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．
111b?cc?aa?b，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc
19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝求证：数列{
20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.
n?2Sn(n＝1，2，3…)． nSn}是等比数列． n第二章 数列
参考答案
一、选择题 1．C
解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699． 2．C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21， 即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7． 解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)， ∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84． 3．B．
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C． 又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8． 4．C 解析： 解法1：设a1＝中两根之和也为2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4， ∴d＝∴
1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0444411735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根． 24444715，分别为m或n， 16161，故选C． 2∴｜m－n｜＝
解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差数列的性质：若＋s＝p＋q，则a＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝等差数列为
∴m＝
7，于是可得41357，，，， 4444715，n＝， 16161． 2∴｜m－n｜＝5．B
解析：∵a2＝9，a5＝243，
a5243＝q3＝＝27， a29 ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3， 3－35240 ∴S4＝＝＝120．
1－326．B 解析：
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
∴S4 006＝∴S4 007＝
4006(a1＋a4006)2＝
4006(a2003＋a2004)2＞0，
40074007·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0， 22故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B．
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同a2 004＜0，
∴S2 003为Sn中的最大值．
∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴
4007在对称轴的右侧． 2(第6题)
解法1的分析得a2 003＞0，
根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4 006．
7．B
解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6， 又由a1，a3，a4成等比数列， ∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8， ∴a2＝－8＋2＝－6． 8．A
9(a1?a9)9?a5S952解析：∵9＝＝＝·＝1，∴选A．
5(a1?a5)5?a3S5592零点B的左侧，4 007，4 008
9．A
解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4， ∴d＝－1，q2＝2， ∴
a2?a1d1＝＝． 2b2?q210．C
22解析：∵{an}为等差数列，∴an＝an－1＋an＋1，∴an＝2an，
又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列， 而an＝
38S2n?1，即2n－1＝＝19，
22n?1
∴n＝10． 二、填空题 11．32． 解析：∵f(x)＝
1， x2?2x1x221∴f(1－x)＝1?x＝＝2x， x2?2?22?22?2111?2x1??2x(2?2x)12222∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝． xxxx22?22?22?22?2设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)， 则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝62， ∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝32． 12．（1）32；（2）4；（3）32．
2解析：（1）由a3·a5＝a4，得a4＝2，
5∴a2·a3·a4·a5·a6＝a4＝32．
?a1?a2?32412?q?（2）?， 29?(a1?a2)q?36∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．
??S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝24（3）??q＝2， 4?S＝a＋a＋???＋a＝S＋Sq844?812∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32． 13．216．
827解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的
23中间数为
827827?＝6，?插入的三个数之积为××6＝216． 323214．26．
解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10， ∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4， ∴S13＝
13(a1＋a13)13(a4＋a10)13?4＝＝＝26． 22215．－49．
解析：∵d＝a6－a5＝－5， ∴a4＋a5＋…＋a10 ＝＝
7(a4＋a10) 27(a5－d＋a5＋5d)
2＝7(a5＋2d) ＝－49． 16．5，
1(n＋1)(n－2)． 2解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．
由f(3)＝2，
f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9， ……
f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，
相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝三、解答题
17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，
1(n＋1)(n－2)． 2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5， n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．
首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)， ∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6． （2）∵ ∴
111，，成等差数列， abc211＝＋化简得2ac＝b(a＋c)． bacbc＋c2＋a2＋abb(a＋c)＋a2＋c2(a＋c)2(a＋c)2b＋ca＋ba＋c ＋＝＝＝＝＝2·，
b(a＋c)acacacacb2∴
b＋cc＋aa＋b，，也成等差数列． abc18．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q， ∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0， ∴q＝1或－
1． 2n(n－1)n2＋3n（2）若q＝1，则Sn＝2n＋＝．
22(n－1)(n＋2)当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．
2－n2＋9nn(n－1)11若q＝－，则Sn＝2n＋ (－)＝．
4222(n－1)(10－n)当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，
4故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn． 19．证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝
n＋2Sn， n∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn， 所以故{
Sn＋12S＝n． n＋1nSn}是以2为公比的等比数列． n20．证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3， 变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0， ∴q3＝－
1或q3＝1(舍)． 4a1(1?q6)S61?q311?q 由＝＝＝； 312a1(1?q)12S312161?qa1(1?q12)S?S6S1?q6－1＝1； 12＝12－1＝－1＝1＋q
a1(1?q6)S6S6161?qS?S6S 得6＝12．
S612S3 ∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．
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