北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题及答案

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【解析】 【分析】

（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为P(D)，即可得到结论.

【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前

升级到5G的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即（2）由题意X的所有可能值为0,1,2， 记事件A以上”，

270?530?0.8.

1000“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元

事件B为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，

由题意可知，事件A，B相互独立，且P(A)?1?40%?0.6，P(B)?1?45%?0.55， 所以P(X?0)?P(AB)?(1?0.6)(1?0.55)?0.18，

P(X?1)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)(1?P(B))?(1?P(A)P(B)

?0.6?(1?0.55)?(1?0.6)?0.55?0.49， P(X?2)?P(AB)?0.6?0.55?0.33，

所以X的分布列为

X P

0 0.18 1 0.49 2 0.33 故X的数学期望E(X)?0?0.18?1?0.49?2?0.33?1.15.

（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那

3C270么P(D)?3?0.02.

C1000回答一：事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.

回答二：事件D发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.

【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

17.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面ABC，AB?BC，AA1?AB?BC?2.

（1）求证：BC1?平面A1B1C；

（2）求异面直线B1C与A1B所成角的大小； （3）点M在线段B1C上，且

B1M??(??(0,1))，点N在线段A1B上，若MN∥平面B1CA1NA1ACC1，求的值（用含?的代数式表示）.

A1B【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】

（1）根据三棱柱ABC?A1B1C1的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得A1B1?平面

?（3）1?? 3B1BCC1，得到A1B1?BC1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得BC1?平面A1B1C；

uuuruuur（2）由（1）得到AB?BC，建立空间直角坐标系B?xyz，求得向量B1C,A1B，利用向

量的夹角公式，即可求解.

B1MA1N????，得N(0,2?2?,2?2?)，求得向M(2?,0,2?2?)（3）由，得，设B1CA1B量MN的坐标，结合MN//平面A1ACC1，利用MN?n?0，即可求解.

【详解】（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，由BB1?平面ABC，所以BB1?平面A1B1C1， 又因为BB1?平面B1BCC1，所以平面B1BCC1?平面A1B1C1，交线为B1C1. 又因为AB?BC，所以A1B1?B1C1，所以A1B1?平面B1BCC1.

uuuuruuuurr

因为BC1?平面B1BCC1，所以A1B1?BC1 又因为BB1?BC?2，所以B1C?BC1， 又A1B1IB1C?B1，所以BC1?平面A1B1C.

（2）由（1）知BB1?底面ABC，AB?BC，如图建立空间直角坐标系B?xyz， 由题意得B?0,0,0?，C?2,0,0?，A1?0,2,2?，B1?0,0,2?.

uuuruuur所以B1C??2,0,?2?，A1B??0,?2,?2?. uuuruuuruuuruuurA1B?B1C1uuuruuurcosAB,BC??. 所以11|BA1||B1C|2??故异面直线B1C与A1B所成角的大小为

?. 3

r（3）易知平面A1ACC1的一个法向量n??1,1,0?，

B1M??，得M(2?,0,2?2?). 由

B1CuuuurA1N??N(0,2?2?,2?2?)设，得，则MN?(?2?,2?2?,2??2?) A1B