uuuurrAACC因为MN//平面11，所以MN?n?0，
即(?2?,2?2?,2??2?)?(1,1,0)?0，解得??1??，所以
A1N?1??. A1B
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18.已知函数f(x)?132x?x?3ax(a?R). 3（1）若f?x?在x??1时，有极值，求a的值；
（2）在直线x?1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y?f?x?相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）a??1（2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】
?2（1）求得f(x)?x?2x?3a，根据函数f?x?在x??1取得极值，即可求解；
（2）不妨设点P?1,b?，设过点P与y?f?x?相切的直线为l，切点为?x0,y0?，求得切线方程，根据直线l过P?1,b?，转化为b?数g(x)?1322x0?x0?3ax0?x0?2x0?3a?1?x0?，设函3??23x?2x2?2x?3a?b，转化为g?x?在区间???,???上单调递增，即可求解. 3132?2【详解】（1）由题意，函数f(x)?x?x?3ax，则f(x)?x?2x?3a，
3?由f?x?在x??1时，有极值，可得f(?1)?1?2?3a?0，
解得a??1.
经检验，a??1时，f?x?有极值. 综上可得a??1.
（2）不妨设在直线x?1上存在一点P?1,b?，
设过点P与y?f?x?相切的直线为l，切点为?x0,y0?，
1322x0?x0?3?x0?x0?2x0?3a?x?x0?， 31322又直线l过P?1,b?，有b?x0?x0?3ax0?x0?2x0?3a?1?x0?，
3232即x0?2x0?2x0?3a?b?0， 323222设g(x)?x?2x?2x?3a?b，则g?(x)?2x?4x?2?2(x?1)?0，
3则切线l方程为y?????所以g?x?在区间???,???上单调递增，所以g?x??0至多有一个解， 过点P与y?f?x?相切的直线至多有一条，
故在直线x?1上不存在点P，使得过P至少有两条直线与曲线y?f?x?相切.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．
x22. 19.已知椭圆C:2?y2?1(a?1)的离心率是
a2（1）求椭圆C的方程；
（2）已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A,B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M,N.如果?MF1N为锐角，求k的取值范围.
??7??2??2??7x22【答案】（1）?y?1（2）????,?7??????4,0?????0,4?????7,???? 2????????【解析】 【分析】
（1）由题意，列出方程组，求得a2?2，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y?k?x?1?，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量
x22【详解】（1）由题意，椭圆C:2?y2?1(a?1)的离心率是，
a2?c2??a2??x222可得?b?1解得a?2，所以椭圆C的方程为?y2?1.
2?a2?b2?c2???（2）由已知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为y?k?x?1?，直线l与椭圆C的交点为A?x1,y1?，B?x2,y2?.
?y?k(x?1)?22222k?1x?4kx?2k?2?0. 由?x2得??2??y?1?24k22k2?2.① 由已知，判别式???恒成立，且x1+x2=，x1x2?22k2+12k?1直线F1A的方程为y?y1?y?(x?1)，令x?0，则M?0,1?. x1?1?x1?1?同理可得N?0,??y2??. x2?1?k2?x1?1??x2?1?y1y2?1?
?x1?1??x2?1??x1?1??x2?1?1?k?xx??1?k??x?x??1?k??2212122uuuuruuuur所以F1M?F1N?1??1?k2??x1x2??x1?x2??1??x1x2?x1?x2?1x1x2?x1?x2?1
将①代入并化简，得
uuuuruuuur7k2?1. F1M?F1N?28k?1uuuuruuuuruuuuruuuur7k2?1依题意，角?MF1N为锐角，所以F?0. 1M?F1N?0，即F1M?F1N?28k?1解得k?2112或k?.
87
??7??2??2??7??,???,0?0,?,??综上，直线l的斜率的取值范围是????????4???4????7?. 7????????【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20.已知数列?an?，记集合T?S(i,j)|S(i,j)?ai?ai?1?L?aj,1?i?j,i,j?N（1）对于数列?an?:1,2,3,4，写出集合T；
*（2）若an?2n，是否存在i,j?N，使得S?i,j??1024？若存在，求出一组符合条件的
?*?.
i,j；若不存在，说明理由.
（3）若an?2n?2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B:b1,b2,Lbn,L，若bm?2020，求m的最大值.
*【答案】（1）T?{3,5,6,7,9,10}（2）不存在i,j?N，使得S?i,j??1024成立.(3)详见
解析 【解析】 【分析】
（1）根据集合的定义T?S(i,j)|S(i,j)?ai?ai?1?L?aj,1?i?j,i,j?N解；
*（2）假设存在i,j?N，使得S?i,j??1024，得到1024?(j?i?1)(i?j)，根据i?j与
?*?，即可求
j?i奇偶性相同，所以i?j与j?i?1奇偶性不同，进而得到结论.
*（3）若?i,j?N，使得i?(i?1)?L?j?(j?i?1)(i?j)?2t，得到
2(j?i?1)(i?j)?2t?1不成立，结合数学归纳法，把数列an?2n?2，转化为数列
0,1,2,3,L,n,L，其相应集合T中满足bn?1010有多少项，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，集合T?S(i,j)|S(i,j)?ai?ai?1?L?aj,1?i?j,i,j?N可得T?{3,5,6,7,9,10}.
?*?，
相关推荐：
loading