全国初中数学联赛试题及答案

20XX年全国初中数学联赛试题及答案

一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：14＋59+302＋13－66－402的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设r≥4，a＝1－1，b＝1－1，

rr+1rr+1c＝

1，则下列各式一定成立的是＿＿。

r(r+r+1)A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公

切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

22A、5 B、6 C、125－π D、116－π 22225、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y 记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。 A、p>q B、p＝q C、p

22222+x2+x3+x4+x5－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则x1的未位数字是＿＿。

A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。 2、7x2+9x+13+7x2－5x+13=7x，则x＝＿＿＿。 3、若实数x、y满足

x＋y=1,x＋y=1,则x＋y＝＿＿。

33+4333+6353+4353+634、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－

B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。 三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)

1、a、b、c为实数，ac＜0，且2a+3b+5c=0，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于3而小于1的根。

4

2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。

3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。

20XX年全国联赛决赛试卷详解

一、选择题：(每题7分，共42分) 1、化简：14＋59+302＋13－66－402的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 解

：

14＋59+302 ?＋13－66－402＋1?14＋50+2450?9＋13－50－2800?16

14＋52?33－52?4?1＋1?7－52?7＋52??14

49?507＋527－52 所以选D

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解：由题意得： 2222

,5＋14－2×5×14×cosα＝10＋11－2×10×11×cos(180°－α)

,∴221－140cosα＝221＋220 cosα ,∴cosα＝0 ∴α＝90°

∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ,∴选C

?1451110180?-?3、设r≥4，a＝－1r111－1，c＝，b＝，则下列各式一定成立r+1r(r+r+1)rr+1的是＿＿。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有

25?251.036111155?25,a=－?，b＝－ ， ???45202510202055?21.1815?2???c＝

420204(2+5)∴c>b>a，选D 解法2：a＝－????1r1?1， r?1r?r?1?b＝1－1?r?1?r?1 rr?1r?r?1?r?r?1?r?1?r??c＝1 r(r+r+1)Qr?4,?r?r?1??r?r?1??r?1?r??r?r?1??r?r?1??r?1?r????r?r?1??r?1r?1?1?1??0???,

?r?r?1??又r?r?1?　　???r?r?1?????r?1?r,故a?b?

?r?1?r?r??r?1?r???r?1?rr?r?1??r?0??r?r?1??r?1?r?r??r?1?r故b?c,综上所述:a?b?c,选　D1?1＜1

解法3：∵r≥4 ∴rr?1,,∴a???1????1??1?1??1?1?b

r?1??rr?1?rr?1?r c＝r?1?r?r?1?r?1?1?b rrr?1rr?1,,∴a

4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A、116－π5 B、6 C、125－π22 D、 22222解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ,∴??1?2AB,?AB??2

216??216??2????,由垂径定理得公共弦为21????2? 42?4?2,∴选D

2

5、已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象如图所示， 记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。 A、p>q B、p＝q C、p0，c=0

∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b| ,又?y b?1,??b?2a,?2a?b?0,从而a?b??a?0 2a0 1 x ,∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a， q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a

∴p

2

22222A、1 B、3 C、5 D、7

解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数

22

而将24分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：24＝2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)

22 2222 2

所以(2005－x1)＋(2005－x2)＋(2005－x3)＋(2005－x4) ＋(2005－x5) ＝2＋(-2)22 2

＋4＋6＋(-6)＝96

22222展开得：5?20052-4010x1+x2+x3+x4+x5+x1+x2+x3+x4+x5?96

????22222?x1+x22+x3+x4+x5=96-5?2005+4010?x1+x2+x3+x4+x5? 　　　　　　　　?1?mod10?，选　A二、填空题(共28分)

1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418

2、7x2+9x+13+7x2－5x+13=7x，则x＝＿＿＿。