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第一部分 专题七 第二讲理
A组
1．将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不
B．120种D． 180种
同的分配方法有( B )
A．240种 C．60种
[解析]不同的分配方法有C36C24＝120.
a1
7
2．若二项式(2x＋)的展开式中的系数是84，则实数a＝( C )
xx3
5
B．42
A．2
D．
4
C．1
aa－－77－r
[解析]二项式(2x＋)的通项公式为Tr＋1＝Cr7(2x)()r＝C7r27rarx72r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开
xx
式中的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.
x3
1
3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D )
B．48D．72
A．24 C．60
[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数
字中任选，进行全排列，有A4种方法，所以奇数的个数为A13A4＝3×4×3×2×1＝72，故选D．
4．(2018·濮阳二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( D )
B．120D．240
A．72 C．192
[解析]由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C12A35＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A5＝120.
3
2
故共有120＋120＝240(个)，故选D．
5．(
x－)8二项展开式中的常数项为( B )
x
A．56 C．－56
B．112D．－112
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[解析]Tr＋1＝Cr8(
3
x)
8－r
8－4r2
rrr
(－)＝(－1)2Cr8·x，令8－4r＝0，∴r＝2，∴常数项为(－1)2×22×C28＝
3x
6．在(x－)6的展开式中，常数项等于( D )
2x5B．
415D．
16
26－r
2
112.
1
5A．－
415C．－
16
(－)＝(－)rCr6x12
2x2
1
2
1
[解析]本题考查二项式定理，二项式(x－)的展开式的通项公式为Cr6(x)
2x
2
26
1
－3r
，
1154
令12－3r＝0得r＝4，则二项式(x－)的展开式中的常数项为(－)C46＝.故选D．
2x216
6
1
7．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳
B．100D．76
舞比赛，则参赛方案的种数为( B )
A．112 C．92
[解析]甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有C14·C3＋
C24C22A22
＝7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7×A2＝14；若剩
下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方法数是C24，分到三项比赛上去的分配方法数是A3，
故共有方案数C24A3＝36.根据两个基本原理共有方法数2×(14＋36)＝100(种)．
8．(x2－x＋1)5的展开式中x3的系数为( A )
A．－30 C．－20
B．－24D．20
[解析]本题考查二项式定理．[1＋(x2－x)]5展开式的第r＋1项Tr＋1＝C5r(x2－x)r，r＝0,1,2,3,4,5，Tr＋1展开式的第k＋1项为Cr5Ckr·(x2)rk(－x)k＝Cr5Ckr(－1)k·x2rk，r＝0,1,2,3,4,5，k＝0,1，…，r，当2r－k＝3，即
－
－
???r＝2，?r＝3，
?或?时是含x3的项，所以含x3项的系数为C25C12(－1)＋C35C3(－1)3＝－20－10＝－30.故???k＝1?k＝3
选A．
9．有大小、形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有56种不同的排列方法？
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[解析]从8个位置中选3个放红球，有C38＝56种不同方法．
10．(2018·昆明二模)(x－2)6的展开式中x2的系数为240.
－
[解析](x－2)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6·(－2)r·x6r，令6－r＝2，求得r＝4，可得(x－2)6的展开
11．设a，b，c
式中x2的系数为C46·(－2)4＝240.
∈
{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有27个．
[解析]由题意知以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，
(1)先考虑等边三角形情况
则a＝b＝c＝1,2,3,4,5,6，此时有6个．
(2)再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a＝b，
当a＝b＝1时，c 当a＝b＝2时，c<4，则c＝1,3(c＝2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个； 当a＝b＝3时，c<6，则c＝1,2,4,5，此时有4个；当a＝b＝4时，c<8，则c＝1,2,3,5,6，此时有5个；当a＝b＝5时，c<10，有c＝1,2,3,4,6，此时有5个；当a＝b＝6时，c<12，有c＝1,2,3,4,5，此时有5个；由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6＝27个． 12．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？ [解析](1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法． (2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理 得到5×2×7＝70(种)不同的选法． (3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘 法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法． B组 1．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( B．240D．480 D ) A．180 C．360 [解析]将6个位置依次编号为1、2、3、…、6号，当甲排在1号或6号位时，不同排法种数为2A5种；当甲排在2号或5号位时，不同排法种数为2A13·A4种；当甲排在3号或4号位置时，不同排法种数有2(A2 A3＋A23A3)种， 精选中小学试题、试卷、教案资料 ∴共有不同排法种数，2A5＋2A13A4＋2(A2A3＋A23A3)＝480种，故选D． 2．如图，M、N、P、Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥 B．12种D．20种 方法有( C )A．8种 C．16种 [解 析]把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成6条线段，任选3条，共有 C36种情形，但有4种情形不满足题意，∴不同的建桥方法有C36－4＝16种，故选C． 3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为( B ) 3n－1 B． 2 D．3n 3n＋1A． 2C．3n－2 [解析](赋值法)令x＝1， 得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.① 再令x＝－1得， a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n＝1.② 令x＝0得a0＝1. 则①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2n)＝3n＋1， 3n＋1 ∴a0＋a2＋…＋a2n＝，2 3n＋13n＋13n－1 ∴a2＋a4＋…＋a2n＝－a0＝－1＝.222 4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( B ) B．120个D．72个 A．144个 C．96个 [解析]据题意，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有2×A34个；若万位上排5，则有3×A34个．所以 2 共有2×A34＋3×A34＝5×24＝120(个)．故选B． 5．若(x＋)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中一次项的系数为( B ) 2x 7B． 4D．71 r 1 [解析]因为(x＋)的展开式通项为Tr＋1＝Crn(x) 2x 2 2n－r 3 A． 2C．6 1 n 11r2n－3r ()＝()Cnrx，其系数为()rCrn.故展开式中前2x22 精选中小学试题、试卷、教案资料 1111 三项的系数为C0n，C1n，C2n，由已知可得这三个数成等差数列，所以C0n＋C2n＝2×C1n，即n2－9n＋8 2442 ＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)． 17 5 令2n－3r＝16－3r＝1，可得r＝5，所以一次项的系数为()C58＝. 24 6．(2018·太原模拟)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之 B．48D．120 间的五位数的个数为( A ) A．36 C．72 [解析]第一步，将3个奇数全排列有A3种方法； 第二步，将2个偶数插入，使它们之间只有一个奇数，共3种方法； 第三步，将2个偶数全排列有A2种方法，所以，所有的方法数是3A3A2＝36. 7．(2018·漳州二模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为( B．0D．20 A．－20 C．1 D ) [解析]令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又 3 易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. a2－x2 8．(2018·江西宜春二模)若(x＋ 1 )n的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则?a?－ax dx＝( C )686A．0B． 349πC．D．49π 2 [解析]由展开式的通项 ， 7 由展开式中含有常数项，得3n－r＝0有整数解， 2 49π 72－x2dx＝. 2 故n的最小值为7，?7 ?－7 9．将编号1,2,3,4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个 连号小球的所有不同放法有18种．(用数字作答)
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