线性变换的值域与核

§6 线性变换的值域与核

一、定义

设 A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域， 用AV表示.

所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A?1(0)表示.

若用集合的记号则AV=???|??V?, A?1(0)=??|???0,??V? 这里用 ? 表示 A，公式里打不出来. 1．线性变换的值域与核都是V的子空间.

2．AV的维数称为 A的秩，A?1(0)的维数称为A的零度.

二、如何求值域、核

1．如何求线性变换的值域 ？

定理10 设A是n维线性空间V的线性变换，?1,?2,?,?n是V的一组基， 在这组基下A的矩阵是A，则

1）A的值域AV是由基像组生成的子空间，即

AV=L(??1,??2,2）A的秩=A的秩.

定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变. AV=L(??1,??2,,??n)，实质上是求它的一个线性极大无关组，

,??n)

即求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组 例1 在线性空间P[x]n中，令

D(f(x))?f?(x)

则D 的值域就是P[x]n?1 .

??x11?例2． 令 V??X????x21??x12??x是实数?， 定义变换 ?:V?V，对于 X?V， ?x22?ij???(X)???11??12??X??， ?11???11?

（1）证明 ? 是线性变换 （2）求 ? 的秩

证明：（1）对于任取a,b?R,X,Y?V， 我们有

?11??12? ?(aX?bY)??(aX?bY)????a?(X)?b?(Y)，从而 ? 是一个线性变换

?11???11??10??01??00??00?（2）显然 E1???,E2???,E3???,E4??? 是 V 的一组基。

00001001?????????(E1)??

?12???11?， ??(E)?(E)?32?????(E4)， 从而 V的像空间 ?V由

?12???11??12???11???,??生成，再证它们线性无关，得到 ? 的秩是 2， 12?11????2．如何求线性变换的核

对于 ????1(0)，?1,?2,?,?n是V的一组基，在这组基下 A的矩阵是A，则

?(?)?0， ??(?1,?2,?x1???x2??， 我们得到 ,?n)?????xn??x1???x,?n)A?2??0。

?????xn?] ?(?)??(?1,?2,?x1???x,?n)?2??(?1,?2,?????xn?

?x1???x2??从而 A?0， 即 ? 的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然 ?????xn??x1??x1?????xx,?n)?2? 当且仅当 ? 的坐标满足 A?2??0

????????x?n??xn?????1(0),??(?1,?2,在 例1中，D 的核就是子空间P.

在 例2 中, 求? 的核

对于X???1(0), 我们有 ?(X)?0. 因为

?11??12??11??x11 ?(X)???X??????11?11?????11??x21x12??12??? x22???11??x?x??12??x?x??11211222???x?xx?x?11???11211222?

2x11?2x21?x12?x22??x?x?x?x??11211222?x?x?x?x2x?2x?x?x?1121122211211222?从而有

?x11?x21?x12?x22?0?x?x?x?x?0?x11?x21?x12?x22?0?11211222 得到 ??2x?2x?x?x?0?11211222?2x11?2x21?x12?x22?0??2x11?2x21?x12?x22?0即:

?x11?x21?0?10??01??1?(0), 我们找到 的一组基 : , ? ?????x12?x22?0??10??0?1?