线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．
跟踪训练2 如图，已知PA⊥底面ABC，其中∠ABC＝90° .求证：BC⊥平面PAB. 证明：∵PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，且AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB. 本题中直接给出直角，据此可得垂直关系． 类型三 直线与平面所成的角
例3 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2.求OA与平面α所成的角的大小．
【解析】 ∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴△AOB，△AOC为正三角形，
∴AB＝AC＝1，又BC＝2，∴AB＋AC＝BC，∴AB⊥AC， ∴△BAC为等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝1，BC＝2，∴OB＋OC＝BC，∴OB⊥OC， ∴△BOC为等腰直角三角形，
如图，取BC的中点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，易得△AHB≌△AHO，∴AH⊥OH，又OH∩BC＝H，OH?平面α，BC?平面α，∴AH⊥平面α，∴∠AOH即为OA与平面α所成的角．
2
2
2
2
2
2
在Rt△AOH中，AH＝∴sin∠AOH＝＝∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角的大小为45°.
证明△AOB，△AOC为正三角形→证明△BAC，△BOC为等腰直角三角形→取BC的中点H→
2
， 2
AHAO2， 2
证明AH⊥平面α→找出直线OA与平面α所成的角→求角
方法归纳
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； (2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．
跟踪训练3 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
解析：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD－A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1?平面ABC1D1，
D1C1?平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平
面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，
EO＝EF＝B1C＝12122， 2
AE＝A1E2＋AA21＝ ∴sin∠EAO＝＝?1?2＋12＝5，
?2?2??
10. 5
10. 5
EOAE∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为求直线与平面所成的角?按“一作，二证，三算”的步骤计算．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知直线l⊥α，α∥β，则( ) A．l∥β B．lβ C．l⊥β D．以上均有可能
解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.
答案：C
2．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
解析：若l∥m，则l?α，∵m?α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．
答案：A
3．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是( ) A.
C.
a⊥α??
??a⊥b B.b?α??a⊥b??b⊥α??
a∥b??
??b⊥α a⊥α??
??a∥α或a?α D.
a∥α??b∥α??
??a∥b
解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.
答案：D
4．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( ) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1； 从而BD⊥AC1，即选项B正确； 由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C， 因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确； 由于四边形ABC1D1不是菱形， 所以AC1⊥BD1不正确．选D. 答案：D
5．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角， 在Rt△AOB中，AB＝2BO， 1
所以cos∠ABO＝，
2即∠ABO＝60°. 答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．
解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
答案：4
7．有下列四种说法，正确的序号是________．
①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a?α，
b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.
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