题型练5 大题专项(三)
统计与概率问题
1.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以,随机变量X的分布列为
X P 1 2 3 4 随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+4
2.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,
第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).
P(A)==0.025.
(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.
(3)由题意可知,定义随机变量如下:
ξk=
则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:
ξ1 1 P
0.4
0 0.6
5
D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;
第二类电影:
ξ2 1 P
0.2
0 0.8
D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;
第三类电影:
D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;
第四类电影:
D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;
第五类电影:
D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;
第六类电影:
ξ3 1 0 P
0.15
0.85
ξ4 1 0 P
0.25
0.75
ξ5 1 0 P
0.2
0.8
ξ6 1 0 P
0.1
0.9
6
D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.
综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).
3.解 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B), 故P(B|A)=因此所求概率为
(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为
X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X P 0 1 2 3 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3
②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由① 7
知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为
5.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.
根据题意,
P(X=10)=; P(X=20)=; P(X=100)=; P(X=-200)=
所以X的分布列为
X 10 20 100 -200 P (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=
所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-=1-
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
(3)X的数学期望为E(X)=10
+20+100-200=-
这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.
6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过505 g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=;
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