2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案

2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案

◇ 北京

【期刊名称】高中数理化 【年(卷),期】2018(000)005 【总页数】5

2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.

1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ). A 3/2; B 5/2;

C 7/2; D 前3个答案都不对 解法1 由题设,可得

(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0, (ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b, 解法2 由题设,可得

(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0. ①

因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以 Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,

因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而 故选C.

2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ). A (2,3); B (3,4);

C (4,5); D 前3个答案都不对 解法1 可得

当时,f(x)的取值范围分别是

可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是 再由可得选项为B. 解法2 在解法1中,已得

可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.

3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ). A 6; B 33/5;

C 36/5; D 前3个答案都不对

可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为 选项为C. 的值为( ).

前3个答案都不对 由题意可得

1+2coscos+coscos=1+coscos= 选项为B.

5. 在圆周上逆时针摆放了 4

个点

A、B、C、D,若

BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ). 前3个答案都不对

解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得 12+32-2·1·3cos θ= 22+32-2·2·3cos θ, θ=π/3.

连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得

在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为

解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得

在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为 故选项为D.

6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ). A 64; B 72;

C 90; D 前3个答案都不对

设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2