??
解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得?|2a－4|
＝r，
??4＋5
??a＝－1，
解得满足条件的一组解为?
?r＝2，?
所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案：(x＋1)2＋y2＝4
?a＋2?2＋?3?2＝r2，
2
(2)(·马鞍山模拟)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的
x标准方程为________________．
2
a，?(a＞0)，又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心解析：由条件设圆心坐标为??a?2
2a＋＋14＋1
a2
到直线的距离d＝r＝≥＝5，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐
a55标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5
热点三 直线(圆)与圆的位置关系
直观 想象 素养 直观想象——圆的方程应用中的核心素养 以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题. [例3] (1)(·湖北八校联考)过点(2，0)作直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
[解析]
令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，
111
所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最
222大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝
2
|OH|21
于是sin∠OPH＝＝＝，
|OP|22
易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－
3. 33 3
2， 2
[答案] －
(2)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
①当|MN|＝219时，则直线l的方程为____________． →→②若BQ·BP为定值，则这个定值为________． [解析] ①设圆A的半径为R. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， |－1＋4＋7|∴R＝＝25. 5
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
a．当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
b．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝219，∴|AQ|＝由|AQ|＝
|k－2|
20－19＝1.
3
＝1，得k＝，
4
k2＋1
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. →→
②∵AQ⊥BP，∴AQ·BP＝0. →→→→→∵BQ·BP＝(BA＋AQ)·BP →→→→→→＝BA·BP＋AQ·BP＝BA·BP.
2
－2，－?. 当直线l与x轴垂直时，得P?5??5→→
0，－?，又BA＝(1,2)， 则BP＝?2??→→→→
∴BQ·BP＝BA·BP＝－5.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
??－4k－7－5k??y＝k?x＋2?，
，由?解得P??. 1＋2k1＋2k????x＋2y＋7＝0，
－5k?→?－5
，∴BP＝??. 1＋2k1＋2k??
－510k→→→→
∴BQ·BP＝BA·BP＝－＝－5.
1＋2k1＋2k→→
综上所述：BQ·BP为定值，其定值为－5. [答案] ①x＝－2或3x－4y＋6＝0 ②－5
直线(圆)与圆的位置关系的解题思路
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题．
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