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专题五 解 析 几 何 第一讲
直线与圆
一、基础知识要记牢 直线与直线的位置关系的判定方法：
(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列结论： l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 二、经典例题领悟好
[例1] (1)(2013·大连模拟)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )
A．0 C．2
B．－8 D．10
直线方程与两条直线的位置关系 (2)(2013·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为( )
A．y＝3x＋3或y＝－3x－3 B．y＝
3333
x＋或y＝－x－ 3333
C．y＝x＋1或y＝－x－1 D．y＝2x＋2或y＝－2x－2
[解析] (1)根据斜率计算公式可得＝－2，解得m＝－8.
m－?－2?(2)|AB|＝?cos α＋1?2＋sin2α＝
13
2＋2cos α＝3，所以cos α＝，sin α＝±，所以kAB
224－m
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33333＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝－33333x－
3. 3
[答案] (1)B (2)B
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法．
三、预测押题不能少
1．(1)将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( )
11A．y＝－x＋
33C．y＝3x－3
1
B．y＝－x＋1
31
D．y＝x＋1
3
1
解析：选A 逆时针旋转90°后与原来直线垂直，所以其方程为y＝－x，向右平移1
3111
个单位后得直线的方程为y＝－(x－1)，即直线方程为y＝－x＋.
333
(2)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0，直线l2：x＋2y＋4＝0，则l1∥l2；若l1∥l2，则有a(a＋1)－2×1＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1，所以不能得到a＝1.
一、基础知识要记牢
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
DE
－，－?，半径r(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为?2??2D2＋E2－4F
＝. 2
圆的方程 ------珍贵文档!值得收藏！------
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二、经典例题领悟好
[例2] (1)(2013·福建莆田联考)抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋y2＝2
B．(x－1)2＋y2＝1 D．(x－1)2＋y2＝4
(2)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
[解析] (1)由抛物线方程及题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)， 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D＋2E＋F＋5＝0，
??
所以?D－2E＋F＋5＝0，
??－D＋F＋1＝0，
D＝－2，
??解得?E＝0，
??F＝－3.
从而所求方程为x2＋y2－2x－3＝0， 即圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
(2)因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以?4－2?2＋?0－m?2＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得
3325y＋?2＝. m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋??2?42
325y＋?2＝ [答案] (1)D (2)(x－2)2＋??2?4
圆的方程的求法
求圆的方程一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．
特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记． 三、预测押题不能少
2．(1)圆心在直线x＋y＝0上且过两圆x2＋y2－2x＝0，x2＋y2＋2y＝0的交点的圆的方程为( )
1
A．x2＋y2－x＋y－＝0
2
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1
B．x2＋y2＋x－y－＝0
2C．x2＋y2－x＋y＝0 D．x2＋y2＋x－y＝0
解析：选C 由已知圆的方程可设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x2＋y2＋2y)＝0(λ≠－1)，
22λ
即x2＋y2－x＋y＝0 ，
1＋λ1＋λ
?1，－λ?∴圆心坐标为?1＋λ. 1＋λ???
又∵圆心在直线x＋y＝0上， 1λ∴－＝0， 1＋λ1＋λ
∴λ＝1，∴所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0.
(2)已知圆C过点(0,1)，且圆心在x轴负半轴上，直线l：y＝x＋1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为________．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， ∵圆心在x轴负半轴上，∴a<0.① ∵圆C过点(0,1)，∴a2＋1＝r2.② 又∵被直线l截得的弦长为22， ∴(2)2＋?
?|a＋1|?22
?＝r.③ ?2?
由①②③解得a＝－1，r＝2， 故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2
一、基础知识要记牢 解答直线与圆的位置关系问题的方法有如下两种：(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较：d
直线与圆、圆与圆的位置关系 ------珍贵文档!值得收藏！------
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二、经典例题领悟好
[例3] (1)(2013·广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋y－1＝0
B．x＋y＋1＝0 D．x＋y＋2＝0
(2)(2013·武汉市调研测试)从圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|＝|PO|(O为坐标原点)，则
①|PT|的最小值为________；
②|PT|取得最小值时点P的坐标为________．
[解析] (1)与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2
＋y2＝1相切，可得
|b|1＋1
2
2
＝1，故b＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分
析知b＝－2，故直线方程为x＋y－2＝0.
(2)圆C的标准方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设P(x，y)，由|PT|＝|PO|得(x－3)2＋(y－4)2－1＝x2＋y2，得3x＋4y－12＝0，P的轨迹为直线：3x＋4y－12＝0，当圆心C到直线上点的距离最小时，切线PT取最小值，|PT|min＝
3648?12
[答案] (1)A (2)① ②??25，25? 5
(1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．
(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l
，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理． 2
三、预测押题不能少
3．(1)已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是( )
A．1 C．3
B．2 D．4
3648?12
，此时P点坐标为??25，25?. 5
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