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解析：选A 根据点到直线的距离公式有d＝
r2
2
x20＋y0
22
.若点P 在圆O上，则x20＋y0＝r，
22222
d＝r，相切；若点P在圆O外，则x2 0＋y0>r，d d>r，相离，故只有①正确． (2)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个． 解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，则圆心到直线l的距离d＝|－6－12－5|23 ＝>4且d<6，故直线与圆相离，则满足题意的点P有2个． 55 答案：2 高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，有时将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题． 对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法． 一、经典例题领悟好 [例1] (2013·安徽师大附中模拟)已知函数f(x)＝x2＋2bx的图像在点A(0，f(0))处的切线 ?1? L与直线x－y＋3＝0平行，若数列??的前n项和为Sn，则S2 013的值为( ) ?f?n?? 直线与数列的交汇 2 010A. 2 0112 012C. 2 013 2 011B. 2 0122 013 D. 2 014 [解析] 由导数的定义知，函数f(x)＝x2＋2bx的图像在点A处切线的斜率为k＝f′(0)1 ＝2b.又∵切线L与直线x－y＋3＝0平行，∴2b＝1，∴b＝，∴y＝f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x 2 ?1?1111111 1－?＋?－?＝x(x＋1)，∴数列?f?n??的通项公式为＝＝－.∴前n项和Sn＝??2??23?f?n?n?n＋1?nn＋1?? ------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------ ?1－1?1＋…＋?n＝1－. ??n＋1?n＋1 12 013故S2 013＝1－＝. 2 0142 014[答案] D 本题考查了函数、导数、直线和数列的结合，求解的关键：①利用两直线平行求出参数b；②利用裂项法求数列的和. 二、预测押题不能少 19x 1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋10n?n＋1?n＋1y ＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) n A．36 C．50 解析：选B 由an＝ B．45 D．55 111 可知an＝－， nn＋1n?n＋1? 1??11??11??1－1?1?1－－－∴Sn＝?2?＋?23?＋?34?＋…＋?nn＋1?＝1－. ??n＋1919 又知Sn＝，∴1－＝，∴n＝9. 10n＋110 xy ∴直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)， 1091 ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45. 2 一、经典例题领悟好 [例2] (2013·浙江宁波二模)设集合A＝{(x，y)|y＝ 4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－b)＋ 直线、圆与集合的交汇 1}，若对任意0≤k≤1都有A∩B≠?，则实数b的取值范围是( ) A．[1－22，1＋22 ] C．[1－22，3] 学审题——审条件之审视隐含 集合A，B―→A中元素表示半圆，B中元素表示直线―→A∩B≠?―――――→直线和半 ------珍贵文档!值得收藏！------ 转化与化归 B．[－3，1＋22 ] D．[－3，3] ------精品文档!值得拥有！------ 数形结合 圆有公共点―――――→求b的范围． 用“思想”——尝试用“数形结合思想”解题 集合A表示圆O：x2＋y2＝4的上半圆． 如图所示，集合B是一条直线，过y＝1上的一点，利用斜率为k的临界条件k＝1.要想使A∩B≠?，只需直线在与圆相切和过(2,0)之间，这时可求出b∈[1－22，3]． [答案] C ?1?求解本题的关键一是集合的几何意义，二是确定k＝1时， b的范围最大，本题应用了数形结合的思想. ?2?直线与圆问题中应用数形结合思想的常见题目类型： ①利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. ②由直线和圆的交点情况求参数取值范围. 二、预测押题不能少 2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥ 3 |AB|，那么k的取值范围是( ) 3 B．[2，＋∞) D．[3，22) 3 |AB|时，O，A，B三点为等腰三3 A．(3，＋∞) C．[2，22) 解析：选C 当|OA＋OB|＝ 角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝2；当k>2时|OA＋OB|> 3 3 |AB| ，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<22.综上，k的取值范围为[2，22)． 1．已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”，是“l1∥l2”的( ) ------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1 ＝k2”是“l1∥l2”的充要条件． 2．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 B．x－y＝0 D．x＋y＝0 解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直， 11所以kl＝－＝－＝1. kPQ4－2 1－3又直线l经过PQ的中点(2,3)， 所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0. 3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C 将方程分离参数a可得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，方程表示过两直线的交点， ??x＋1＝0，由?得交点为(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y??x＋y－1＝0， ＝0. 4．(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．52－4 C．6－22 B.17－1 D.17 解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3) ′ ′ ＝52－4. 5．(2013·海南质检)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x ------珍贵文档!值得收藏！------ ------精品文档!值得拥有！------ ＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋y2＝2 C．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝1 D．(x－2)2＋y2＝4 解析：选A 令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直|－1＋0＋3| 线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝2＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 6．(2013·山东潍坊一中模拟)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( ) A．2 C．4 B．3 D．6 解析：选C 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为2.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离为d＝ ＝ 2a2－8a＋26＝ ?a＋1?2＋?b－2?2＝ ?a＋1?2＋?a－3－2?2 2?a－2?2＋18.所以当a＝2时，d有最小值18＝32，此时切线 长最小，为 ?32?2－?2?2＝16＝4. 7．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________． 解析：所求直线过圆：x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 8．(2013·浙江省名校联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________． 解析：如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0. 答案：2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0 9．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________． 解析：取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证 ------珍贵文档!值得收藏！------
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