2020年高考全国一卷理科数学试卷

2020年高考全国一卷理科数学试卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）

理科数学

2020.7

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 若z?1?i，则|z2?2z|?

A. 0

B. 1

C.

2

D. 2

2. 设集合A?{x|x2?4?0}，B?{x|2x?a?0}，且A?B?{x|?2?x?1}，则a?

A. - 4

B. - 2

C. 2

D. 4

3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为

5?1 45?1 25?1 45?1 2A.

B.

C.

D.

4. 已知A为抛物线C:y2?2px(p?0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，

则p = A. 2

B. 3

C. 6

D. 9

5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同

的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i?1,2,?,20)得到下面的散点图：

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由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 A. y?a?bx

B. y?a?bx2

C. y?a?bex

D. y?a?blnx

6. 函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为

A. y??2x?1

B. y??2x?1

C. y?2x?3

D. y?2x?1

7. 设函数f(x)?cos(?x?)在[??,?]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为

6A. B. C. D.

10? 97? 64? 33? 2?y28. (x?)(x?y)5的展开式中x3y3的系数为

xA. 5 B. 10 C. 15 D. 20

9. 已知??(0,?)，且3cos2??8cos??5，则sin??

5 3A. B.

2 3 C.

1 3 D.

5 910. 已知A、B、C为球O的球面上的三个点，⊙O1为?ABC的外接圆。若⊙O1的面积为4?，

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AB?BC?AC?OO1，则球O的表面积为

A. 64? B. 48? C. 36? D. 32?

11. 已知⊙M：x2?y2?2x?2y?2?0，直线l:2x?y?2?0，P为l上的动点。过点P做⊙M的切

线PA、PB，切点为A、B，当|PM|?|AB|最小时，直线AB的方程为 A. 2x?y?1?0

B. 2x?y?1?0

C. 2x?y?1?0

D. 2x?y?1?0

12. 若2a?log2a?4b?2log4b，则

A. a?2b

B. a?2b

C. a?b2

D. a?b2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

?2x?y?2?0,?13. 若x、y满足约束条件?x?y?1?0,则z?x?7y的最大值为____________。

?y?1?0,?14. 设a、b为单位向量，且|a?b|?1，则|a?b|?__________。

x2y215. 已知F为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF

ab 垂直于x轴。若AB的斜率为3，则C的离心率为_________。

16. 如图，在三棱锥P?ABC的平面展开图中，AC?1，AB?AD?3，

AB?AC，AB?AD，?CAE?30?，则cos?FCB?_____________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

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题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17. （12分）

设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2、a3的等差中项。 （1）求{an}的公比；

（2）若a1?1，求数列{nan}的前n项和。

18. （12分）

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE = AD。?ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO?6DO。 6（1）证明：PA?平面PBC； （2）求二面角B?PC?E的余弦值。

19. （12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为

1。 22020年高考全国一卷理科数学试卷

（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率。

20. （12分）

x2已知A、B分别为椭圆E:2?y2?1(a?1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG?GB?8。P为直

a线x?6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点。

21. （12分）

已知函数f(x)?ex?ax2?x。

（1）当a?1时，讨论f(x)的单调性； （2）当x?0时，f(x)?

13x?1，求a的取值范围。 2