【总结升华】
如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径． 举一反三：
【变式】如图所示，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
【答案与解析】
证法1：连接OE、DE(如图(1))． ∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠AED＝∠CED＝90°．
∵ G是AD的中点，∴ EG＝∴ ∠1＝∠2．
∵ OE＝OD，∴ ∠3＝∠4． ∴ ∠1+∠3＝∠2+∠4， 即∠OEG＝∠ODG＝90°． ∴ GE是⊙O的切线．
1AD＝DG． 2
证法2：连接OE、ED(如图(2))． 在△ADC中，∠ADC＝90°，
∴ ∠A+∠ACD＝90°． 又∵ CD是⊙O的直径， ∴ ∠AED＝∠CED＝90°．
在△AED中，∠AED＝90°，G是AD中点， ∴ AG＝GE＝DG，∴ ∠A＝∠AEG． 又∵ OE＝OC，∴ ∠OEC＝∠ACD． 又∵ ∠A+∠ACD＝90°， ∴ ∠AEG+∠OEC＝90°．
∴ ∠OEG＝90°，∴ OE⊥EG． ∴ GE是⊙O的切线．
类型三、与圆有关的计算
3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出
了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示： （1）通过计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
【思路点拨】 （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；
（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；
（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．
【答案与解析】 解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，
∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm， ∴ BD=
（Ⅱ）如图所示，
=
cm；
∵ 三个正方形的边长均为5，
∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴ OA==5cm，
∴ 能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，
cm；
∵ CE⊥AB，AC=BC，
∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径， ∵ OA=OB=OD， ∴ O为圆心，
∴ ⊙O的半径为OA， OA=
=5
cm，
×2=10
cm；
∴ 能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点， 设OG=x，则OP=10-x， 则有：解得：则ON=∴直径为
． ，
，
，
【总结升华】
此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．
举一反三：
【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ． （2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
【答案】
解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM=∠CBN， 又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°； 同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°． （2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n中，
4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．
．
【思路点拨】
观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积. 【答案】
25?； 6【解析】
连接OC、OD、CD．
∵ C、D为半圆的三等分点， ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝
180°?60°． 3 又∵ OC＝OD，
∴ ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴ DC∥AB， ∴ S△PCD?S△OCD，
∴ S阴影?S扇形OCD答案：
60?5225???．
360625?． 6【总结升华】
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