高等数学下学期复习资料第七章

(2) 若lim(3) 若limnn??|an|? L > 1或limn|an|? ? ?，则级数发散；

n??nn??|an|? 1，则级数可能收敛也可能发散，需用其它方法判别其收敛性．

? 例6 判定级数

?n?1?5n?3??? 的收敛性． 3n?1??n7.（莱布尼茨定理）设交错级数

?(?1)

n?1?

n ? 1

a n (a n > 0 )，如果a n满足条件：

(1) {a n} 是单调减少数列，即a n ? 1 ? a n (n ? 1, 2, ?)； (2) lima n ? 0．

n??则该交错级数收敛．

(?1)n?1例7 判定交错级数?npn?1?(p?0)的收敛性．

?例 （1）

??n?1?(?1)nn?1；（2）

?n?1?(?1)n?1 n2 n如果

?| a | 收敛，则称级数?a n绝对收敛；如果级数

n?1n?1?an?1? n收敛，而级数

?| a |

n?n?1发散，则称级数

?an?1? n条件收敛．

(?1)n?1例8 判定级数?npn?1? (p?0)的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．

例

?n?1?(?1)nn(n?1)；

三、幂级数 1. 阿贝尔定理 (1) 如果

n?an?0?n x在x ? x 0 (? 0) 收敛，则对所有满足 | x | < | x 0 | 的x，

n?an?0?n x 绝对收敛；

(2) 如果

?n?0?an x在x ? x 0 发散，则对所有满足 | x | > | x 0 | 的x，

n?n?0?an x n发散．

2. 对幂级数

?an?0? nx n，有下面的三种可能性：

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(1) 级数在所有的实数x收敛，收敛域为 (? ?, ? ? )； (2) 级数仅在x ? 0收敛，收敛域为 {0}；

(3) 存在一实数R > 0，使级数在x ? (?R, R ) 收敛，在 | x | > R 发散，在x ? ?R级数可能收敛也可能发散，因此收敛域可能有四种情形：(?R, R )，[?R, R )，(?R,

R ] 或 [?R, R ]，

情形 (3) 中的R称为级数的收敛半径，(?R, R ) 称为级数的收敛区间，对于 (1)，(2) 的情形，我们说级数的收敛半径分别是 ? ? 和0． 例 9求幂级数

??n?0?xnnn2的收敛半径、收敛区间和收敛域．（收敛域为 [ ?2，2 ]）

?例10求幂级数

定理: 设幂级数 (1)

?n?1求幂级数

?n?1(?1)n2n1(x?)n的收敛半径及收敛域．

2n?n?0?a nx n的收敛半径R，(R > 0)．则

?ax n? n的和函数s (x) 在级数的收敛域内是连续函数，即对收敛域内任一x 0，有

n?0x?x0

lims (x) ? s (x 0)，lim

x?x0

?n?0?a nx ?

n?n?0?na nx0?

?n?0?x?x0

lim(a n x n )，

(2)

?an?0? nx n的和函数s (x) 在收敛区间 (? R，R ) 内可导，

s' (x) ? (

(3)

?n?0?a nx)' ?

n ?n?0?(a nx)' ?

n ?n?1?n a nx n ? 1 x ?(? R，R )，

?an?0? nx n的和函数s (x) 在收敛区间 (? R，R ) 内可积，

x??x?0s(x)dx?(0???n?0xanx)dx?

n??n?0anxdx?

n?n?0?0ann?1x x ?(? R，R )， n?1例11 求级数

?n?1?n?1x4n?1

在收敛区间内的和函数． 4n?1

例12 求幂级数四、泰勒级数

nnx?的收敛域，并求其和函数.

函数f(x)在x=a处的泰勒级数

?n?0?f\(a)f(n)(a)f(n)(a)2n(x?a)???(x?a)n?? (x?a)?f(a)?f'(a)(x?a)?2!n!n!30

特别当a=0时，称它为f(x)的麦克劳林级数。

x2xne?1?x??????,x?(??,??)

2!n!xx3x5x2n?1nsinx?x?????(?1)??,x?(??,??).

3!5!(2n?1)!

例13 将函数f(x)?1展开为x的幂级数.

(1?2x)2例14将函数f (x) ? ln (1 ? x)表示成 (x ? 2) 的幂级数, 并求其收敛域． 例15将arctanx表示为x的幂级数. 五、傅里叶级数

a0?11. 函数f(x)的傅里叶级数：??(ancosnx?bnsinnx)，a0??2n?1an?????f(x)dx

????1?f(x)cosnxdx，bn?????1?f(x)sinnxdx (n?1,2,?)，

2. 收敛定理：设函数f(x)以2?为周期，如果它在一个周期[??，?]上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，那末f(x)的傅里叶级数收敛，并且它的收敛和为s(x)，则有当x是f(x)的连续点时，s(x)=f(x);当x是f(x)的间断点时，

s(x)?f(x?0)?f(x?0).

2收敛定理中f(x)所满足的条件称为狄利克雷条件，简称狄氏条件。

例16 将函数f(x)?

例17 将函数f(x)?x在[??,?]上展开成傅里叶级数，并求级数

2?4?1x在区间[0,?]上展开成余弦级数. 2?nn?1?12之和.

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