2008-2014历年考研数学一真题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于

(A)i (B)-i (C)j (D)?j

(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是

(A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0 (4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛 (D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛 (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则

(A)E?A不可逆,E?A不可逆 (B)E?A不可逆,E?A可逆

(C)E?A可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆

(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

?x(x,y,z)A???y???1在正交变换下的标准方程的图形如图,则

??z??A的正特征值个数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x? (B) F?x?F?y? (C) 1??2?1?F?x??? (D) ??1?F?x?????1?F?y??? (8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

(11)已知幂级数??ann?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数??ann?x?3?的

n?0n?0收敛域为?????????????????.

(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.

?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.

1

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求极限lim??sinx?sin?sinx???sinxx?0x4.

(16)(本题满分10分)

计算曲线积分?Lsin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.

(17)(本题满分10分)

已知曲线C:??x2?y2?2z2?0?x?y?3z?5,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数,

(1)利用定义证明函数F?x???x0f?t?dt可导,且F??x??f?x?.

(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?xf(t)dt?x?200f(t)dt也是以2

为周期的周期函数.

2

(19)(本题满分10分)

?f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求???1?n?1n2的和.

n?1

(20)(本题满分11分)

A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:

(1)r(A)?2. (2)若α,β线性相关,则r(A)?2.

3

(21)(本题满分11分)

??2a1??设矩阵A??a22aO?1??,现矩阵A?OO?a22a??n?nX??xT1,L,xn?,B??1,0,L,0?,

(1)求证A??n?1?an.

(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1.

满足方程AX?B(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解. ,其中

4

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??13?i??1,0,1?,Y的概率密度为fY?y????10?y?1其它,记Z?X?Y,

?0(1)求P??Z?1?2X?0???. (2)求Z的概率密度.

(23)(本题满分11分)

设X1,X2,L,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.

记X?1n?nX21n2212i,S??1?(Xi?X),T?X?S i?1ni?1n证明T是?2的无偏估计量.

(2)当??0,??1时 ,求DT.

5

(1)