类型二 与图形的变换结合的探究题
1．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB. (1)若四边形ABCD为正方形．
①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系_DF＝2AE_；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE，DF的数量关系并说明理由； (2)如图③，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图③中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系．
2边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC＝23.
(1)如图①，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由；
(2)如图②，将△DEC绕点C旋转∠α(0°＜α＜360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
图①
图②
3．如图，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针方向旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E.
(1)如图①，当点C在射线AN上时．
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC、AD和BE的数量关系，写出结论并证明；
(2)如图②，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝3，请直接写出AD和DF的长．
图①
图②
4．如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想
图①中，线段PM与PN的数量关系是_PM＝PN_，位置关系是_PM⊥PN_； (2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
类型三 动点问题
1．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB. (1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
(2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
AP
(3)如图③，∠MON＝60°，连接AP，设OQ＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
2．正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°. (1)当OM经过点A时，
①请直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)过D点；(图①仅供分析)
②如图②，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形；
(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于点G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
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