概率试卷A评分标准11-12-2 本科

概率论与数理统计A卷评分标准 共4页 第1页

2011－2012学年 第2学期 概率论与数理统计A卷评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

1．已知事件A,B相互独立，且P(A)?12,P(B)?35，则P(A|A?B)等于 （A）511； （B）58； （C）12； （D）1.

答:（ B ）

??11?2. 已知离散型随机变量X的分布律为??，则其分布函数F(x)为

1323??

x??1x??1?0,?0,??（A）?13,?1?x?1； （B）?23,?1?x?1；

?1,?1,x?1x?1??x??1x??1?0,?0,??（C）?13,?1?x?1； （D）?23,?1?x?1.

?1,?1,x?1x?1??答:（ A ） 3．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且E[(X?1)(X?2)]?1，则?等于 （A）1； （B）2； （C）1或2； （D）3.

答:（ A ）

4. 已知随机变量X,Y都服从正态分布，则下列选项正确的是

（A）X?Y服从正态分布； （B）?XY?0；

（C）X?Y不一定服从正态分布； （D）(X,Y)服从二维正态分布.

答:（ C ）

5. 设总体X服从N(0,1)分布，X1,X2,?,Xn(n?1)为取自X的简单样本，记X为样本均值，S2为样本方差，则下列选项不正确的是

（A）X~N(0,1n)； （B） （C） （D）XS~t(n?1). (n?1)S~?(n?1)；?Xi2~?2(n)；

22i?1n 答:（ D ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

6．一个箱子中装有80个白色乒乓球，20个橙色乒乓球，从中依次不放回取出两个乒乓球，则第二次取到橙色乒乓球的概率为15.

?(1?e?2x)(1?e?y),x?0,y?07. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，

0,其它?则P(X?12)=1?e?1.

8. 设随机变量X服从b(16,14)分布，Y服从参数为2的泊松分布，且X,Y相互独立，

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则D(?2X?Y)=14.

9．假设某种型号钉子的长度X（单位：厘米）服从N(μ,σ2)分布，其中?,?2 都为未知参数. 今从一批此种型号的钉子中随机抽取16根，测量其长度，算得样本均值

x?2.10，样本标准差s?0.40，则?的置信水平为95%的置信区间为(1.89,2.31) （结果保留到小数点后面两位）.

（备用数据：t0.025(16)?2.1199，t0.025(15)?2.1315，t0.05(15)?1.7531）

10. 某螺丝钉厂所生产的螺丝钉的不合格率为0.02，任取100颗螺丝钉，由中心极限定理，其中不合格品不多于5颗的概率近似为0.9838.

（备用数据：?(0.47)?0.6808，?(1.14)?0.8729，?(2.14)?0.9838） 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.

11．某工厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线生产的产品数量分别占总量的

25%,35%,40%，又这三条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.02.现从出厂的产品中任取一件，发现其为次品，求此次品来自于第二条生产线的概率.

解：设B表示取到次品；Ai表示此次品来自于第i条生产线，i?1,2,3，则所求概率为

P(A2|B)?P(A2B)P(B)......................................................(3') ?P(B|A2)P(A2)?P(B|A)P(A)iii?13.................................................................(8')

35100?0.0428?..................(10')25100?0.05?35100?0.04?40100?0.026912．已知随机变量X的概率密度函数为

f(x)?e?2|x|,???x???，

求：（1）P(?1?X?1)；（2）Y?2X?1的概率密度函数fY(y).

?解：（1）由密度函数的性质

P(?1?X?1)??f(x)dx...................................(2')?11?2?e01

?2xdx?1?e................................................(5')?2（2）由题意

fY(y)?e?|y?1|2,???y???................................(10') 13.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?3x,0?y?1,1?y?x?1， f(x,y)??0,其它?求：（1）P(Y?X)；（2）(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数fY(y)； （3）在Y?13的条件下，X的条件概率密度函数fX|Y(x|13). 解：（1）由题意

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1xP(Y?X)?1{(x,y):y?x}??f(x,y)dxdy??3xdx?dy...................(3')

121?x??3x(2x?1)dx?58.............................................................(4')

12（2）由边缘密度函数的定义

?13xdx,0?y?1?3(2y?y2),0?y?1??fY(y)???1?y??2..............(7')

?其它 ?0,其它?0,?（3）由条件概率密度函数的定义

f(x,13)?18x5,23?x?1fX|Y(x|13)???.............................(10')

0,其它fY(13)?14．已知连续型随机变量X的分布函数为

x?1?0,?A(x2?1),1?x?2?， F(x)???B(x?1),2?x?3?x?3?1,（1）确定常数A,B；（2）求P(32?X?52)；（3）求X的概率密度函数f(x). 解：（1）由分布函数的性质

F(2?)?F(2?)?3A?B...........................................................(1')

F(3?)?F(3?)?2B?1............................................................(2')

因此可得A?16,B?12..................................................................(3') （2）由分布函数的性质

P(32?X?52)?F(52)?F(32)..........................................(5') 11?(52?1)?[(32)2?1]?1324.............................................(7')26?x3,1?x?2dF(x)???12,2?x?3................(10') （3）由概率密度函数的性质f(x)?dx?0,其它?15.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

Y

-1 0 1 X

a c 0 1/9

b 1 1/9 1/3

已知X,Y相互独立，确定常数a,b,c的值. 解：由题意可得

11?P(X?i,Y?j)?1???j??1i?0???P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0).............................(6') ?P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)???

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即

a?b?c?49???b?(49?b)(b?19)..................................................(8') ?13?(49?b)(c?13)?故 a?118,b?29,c?16...............................................(10') 16．设总体X的概率密度函数为

??2xe??x,x?0f(x)=?，

0,其它?其中?(??0)是未知参数. 若X1,X2,?,Xn是来自该总体的一个容量为n的简单样

?. 本，求?的最大似然估计量?解： 似然函数为L(?)???2xie??xi............................................................(3')

i?1n对数似然函数ln[L(?)]?2nln???lnxi???xi.............................(5')i?1i?1nn

dln[L(?)]2nn令?0???xi?0........................................................(8')

d??i?1故?的最大似然估计量??2n^?X..................................................(10')

ii?1n四、解答题（本大题共1个小题，5分）.

17．已知测量误差X（单位：米）服从区间(?2,2)上的均匀分布，问至少要测量多少

次才能使至少有一次误差的绝对值不超过0.5米的概率大于910. （备用数据：ln3?1.0986,ln4?1.3863,ln10?2.3026）

解：设至少要测量n次，若用Y表示测量的误差不超过0.5米的次数，则

Y~b(n,P(|X|?0.5)) 即Y~b(n,14)...................................................(2')

0要使P(Y?1)?910,即要Cn(14)0(1?14)n?(34)n?110.................(4')

?ln10?2.3026??8.0035，即至少要测量9次. .............(5') 即要n?ln(3/4)?0.2877五、应用题（本大题共1个小题，5分）.

18. 某工程队完成某项工程所需时间（单位：天）X近似服从N(100,52)分布，依工程

队上级规定：若该项工程在100天之内完成，工程队可获奖金10万元；在100-115天内完成，工程队可获奖金3万元；若超过115天完成，工程队要被罚款5万元，求该项工程完成时，此工程队获得奖金的期望值.

（备用数据：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987） 解：设此工程队获得奖金额为Y万元，则Y的取值为-5,3,10，且

?X?100115?100?P(Y??5)?P(X?115)?1?P????1??(3)?0.0013.....(1')55???100?100X?100115?100?P(Y?3)?P(100?X?115)?P????555????(3)?12?0.4987..........................................................................(2')P(Y?10)?P(X?100)??(0)?0.5...............................................................(3') 故EY??5?0.0013?3?0.4987?10?0.5?6.4896.........................................(5')

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