庖丁巧解牛
知识·巧学
一,平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的建立
在生产,生活或科技中有很多问题都是可以通过坐标系来分析解决的.解决问题的过程中,有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等.
某地发生严重的地震灾害,各地群众纷纷捐款捐物,救灾物资分批到达.但是,有些地方因为环境很恶劣,物资不能直接送达,就派送一架飞机在1000米高的上空正对目的地以100千米/时的速度做水平飞行，那么飞机应在离目的地水平距离大约多少米处抛下救灾物资,使物资能落到目的地呢？
物资落下的路线是一条抛物线.物资下落的过程可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.当将此抛物线放到一个合适的坐标系中解决时,就会很容易得到飞机应在离目的地水平距离400米处抛下这批救灾物资. 2.求轨迹方程的一般步骤.
(1)分析曲线的特征,揭示隐含条件;
(2)找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件; (3)列出方程.
方法点拨 求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.关键是数形结合，建立等量关系. 二、平面直角坐标系中的伸缩变换
以函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程为例，研究在平面直角坐标系中伸缩变换作用下的图形的变化情况.
函数y=sinωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的
1?倍（纵坐标不变）而得到.平面直
角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持纵坐标不变，将x轴进行压缩或伸长.
函数y=Asinx,x∈R（其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系中的伸缩变换可认为是一个坐标伸缩过程,即保持横坐标不变，将y轴进行压缩或伸长.
深化升华 正弦曲线经过这两种变换后，所得到图形的形状是完全相同的.平面直角坐标系中的伸缩变换只是从说法上有所不同，本质上是一样的. 应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中的坐标伸缩变换将x与y的伸缩变换
?x????x,??0,统一成了一个式子,即?
??y???y,??0. 如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标
轴的平移，简称移轴.设原坐标系为xOy，平移后新坐标系为x′O′y′，新坐标系的坐标原点在原坐标系中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式??x??x?h,在新旧坐标变换和方程变换时，可选择使用.
??y?y?k.
问题·探究
问题1 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？ 探究:建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为横轴，以端点或中点为原点,使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上. 直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件.
如:已知动点P与两定点A、B的距离的平方和为122，|AB|=10,求动点P的轨迹方程.要使AB在x轴上，以AB的中点为原点建立坐标系. 再如:已知线段AB的长为3，平面上一动点M到定点A的距离是到定点B距离的两倍，求动点的轨迹方程.注意到动点M运动到线段AB上时，有|AM|=2|MB|，点M恰为线段AB的一个三等分点，故考虑以这个三等分点为坐标原点建立直角坐标系.
再如:在相距1 400米的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？它是怎样建立直角坐标系的呢？以A、B两个哨所所在的直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系.
问题2 在伸缩变换下,椭圆能否变成圆?抛物线和双曲线能变成什么曲线?
探究:圆锥曲线之间的图象关系.在一定的伸缩变换规律下椭圆能够变成圆,而双曲线与抛物线仍然是双曲线和抛物线.
(x?1)2(y?1)2?如:能把椭圆=1变为中心在原点的单位圆吗? 94?x???22??x??x?1,x?y???先经过平移变换?把椭圆变为=1,再通过伸缩变换??94?y?y?1.?y?????x?1???x?,??322
变为单位圆x″+y″=1.上述两种变换可合成一个变换为?.
?y???y?1,?2?x?,3把此椭圆 ?y,2?x????x,??0, 按照这个道理,按照变换?对于双曲线和抛物线的方程,不管进行什么
?y???y,??0.?样的伸缩变换（当然,把图象伸缩的无限大,或者无限小的极限位置排除在外）之后,方程特点
仍然没有变,抛物线方程的二次项和一次项都没有变,双曲线的两个二次项仍然是二次项,这两个二次项之间的减号也没有变;从另外一个角度来说,把它们的图象进行压缩时,图象特点是没有变的,压缩后的图象仍然是抛物线型和双曲线型的,所以它们的图象是没有变化的,仍然是双曲线和抛物线. 典题·热题
例1如图1-1-2，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
图1-1-2
思路分析：本题利用数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式PM=2PN，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO12-1=2(PO22-1)，设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.
图1-1-3
解：如图1-1-3，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0). 设P(x,y)，则PM2=PO12-MO12=(x+2)2+y2-1. 同理,PN2=(x-2)2+y2-1.
∵PM=2PN，∴(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，
即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33,这就是动点P的轨迹方程.
深化升华 在求轨迹方程时,首先能够建立一个适当的坐标系.同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式. 例2设有半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？
思路分析：因为A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，可以先把其速度设出来.在这个问题中的关键是：路程之间的关系满足勾股定理，根据它可以建立一个关系式.
解：如图1-1-4建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇,
图1-1-4
则P、Q两点坐标为(3vx0,0)，(0,vx0+vy0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2，即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
∵x0+y0>0,∴5x0=4y0①.将①代入kPQ=?x0?y03，得kPQ=?.
43x0又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.
设直线y=?315|4b|x+b与圆O:x2+y2=9相切，则有=3.∴b=.
22443?4答：A、B两人的相遇点在离村中心正北33千米处. 4 方法归纳 在实际问题中能够根据已知条件合理地建立坐标系是个很关键的问题.本题当中,注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为圆点，以开始时A、B的前进方向为x、y轴，建立直角坐标系. 例3已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标
1倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( ) 311A. B.2 C.3 D. 23系中的横坐标压缩到原来的
思路解析：函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的
1?倍（纵坐标不变）而得到.
答案：C
误区警示 规律容易记错，认为函数y=cosωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标伸长（当ω>1时）或缩短（当0<ω<1时）到原来的
1?倍（纵
坐标不变）而得到,这是错误的认识. 例4在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换.
?x????x(??0),思路分析：设变换为?可将其代入第二个方程，得2λx-μy=4.与x-2y=2比
??y???y(??0).较，将其变成2x-4y=4，比较系数得λ=1,μ=4. 解：设??x??x,.直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得
?y??4?y.到直线2x′-y′=4.
拓展延伸 求满足图象变换的伸缩变换，实际上是求其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可以了.
若将已知条件换成:将直线2x-y=4变成x′-2y′=2,如何求满足图象变换的伸缩变换呢? 解：设变换为??x????x(??0),可将其代入第二个方程，得λx-2μy=2，与2x-y=4比较，
?y????y(??0).1. 4将λx-2μy=2变成2λx-4μy=4，比较系数得λ=1,μ=
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