湖南学考2013年数学要点解读

3.集合的基本运算

【知识要点】（1）交集：（2）并集：A?B??x|x?A或x?B?；A?B??x|x?A且x?B?；（3）补集：CUA?{x|x?U且x?A}.

【案例剖析3】设集合A={0，1，2}，A?B= {0，2}，则集合B可能是（ ）. A.｛0，1} B.｛1，2｝ C.｛0，2，3｝ 【解析】由已知集合B中必有元素0和2，所以选C.

【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数0.92，为容易题. 4.函数的概念及表示

【知识要点】（1）函数的三要素：定义域、值域和对应关系；（2）函数的表示：解析法、列表法、图象法.

【案例剖析4】求下列函数的定义域：（1）f(x)?ln(x?1)；（2）f(x)?1x?x?1.

D.｛0｝

【解析】（1）要使函数有意义，则x?1?0，即x?1，故所求函数定义域为{x|x?1}；

?x?0（2）要使函数有意义，则?，得x??1且x?0，故所求函数定义域为{x|x??1x?1?0?且x?0}.

【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数0.86，为容易题. 5.函数的奇偶性

【知识要点】如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)（或

f(?x)??f(x)），那么函数f(x)就叫做偶（或奇）函数.

【案例剖析5】（1）已知函数f(x)?x?a为奇函数，则a= ； （2）已知f(x)?x?231x2，若f(a)?4，则f(?a)? .

【解析】（1）因为f(x)为奇函数，又f(x)的定义域为R，所以f(0)?0，得a?0； （2）因为f(x)为偶函数，又f(a)?4，所以f(?a)?f(a)=4. 【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数0.90，为容易题.

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6.函数的单调性与最大（小）值

【知识要点】（1）如果对于函数y?f(x)定义域I的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)（f(x1)?f(x2)），那么就说f(x)在区间D上

是增（减）函数；（2）函数y?f(x)的最大（小）值M（m）是函数y?f(x)的所有函数值中最大（小）的.

【案例剖析6】已知函数f(x)?x?ax（a?R）.

（1）当a?0时，指出函数f(x)在(0,??）上的单调性（不要求证明）；

（2）当a?0时，求函数f(x)在x?0时的最小值，并指出取得最小值时的自变量x的值；

（3）当a?2时，求函数f(x)在[2，2]上的值域.

【解析】（1）函数f(x)在(0,??）上为增函数；

ax（2）当a?0时，因为x?0，所以f(x)?x??2a，当且仅当x?a时取等号，

即x?a时，f(x)的最小值为2a；

2x（3）当a?2时，先证明f(x)?x?在[2，2]上的单调性。

任取x1,x2?[2，2]，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?(2x1?2x2)

=

(x1?x2)(x1x2?2)x1x2，因为x1x2?2，所以x1x2?2?0，又x1?x2?0，所以

2xf(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)?x?在[2，2]上为增函数，

所以f(x)min?f(2)?22，f(x)max?f(2)?3，故函数f(x)在[2，2]上的值域为[22，3]。

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【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数0.70，为稍难题.

★达标练习

1.已知全集U???1,0,1,2,3,4?，A???1,0,2,4?，则CuA?( ).

A.? B. {0,2,4} C. {1,3} D.{?1,1,3}

2.函数f(x)?x?1x?2的定义域为（ ）.

A.[1，2)∪(2，+∞） B.(1，+∞） C.[1，2) D.[1，+∞)

3．已知函数f(x)?ax(a?0且a?1)，若f(1)?2，则函数f(x)的解析式为（ ）.

11A．f(x)?4x B．f(x)?() C．f(x)?2x D．f(x)?()

42xx4.下列说法错误的是（ ）.

A.y?x4?x2是偶函数 B. 偶函数的图象关于y轴成轴对称

C.y?x3?x2是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称

?x2?x(x?0)5. 已知函数f(x)??，则f(2) = .

?x?1(x?0)6.建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，则总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数关系式为 .

7.已知全集U=R，集合A?{x|?1?x?3},B?{x|2?x?5}，求：

（1）A?B；（2）A?B；（3）(CUA)?B；（4）A?(CUB).

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8. 某家庭进行理财投资，根据市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.

（1）设投资额为x万元，收益为y万元，试分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现用20万元资金进行理财投资，问怎样分配资金能使投资收益最大，其最大收益为多少万元？

第二章 基本初等函数（I）

★考试目标

节 次 2.1.1指数与指数幂的运算 2.1．2指数函数及其性质 2.2.1对数与对数运算 2.2．2对数函数及其性质 考 试 目 标 理解根式、分数指数幂的意义；能进行指数幂的运算. 掌握指数函数的概念、图象和性质；了解指数函数模型的简单应用. 理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式；能进行对数的运算. 掌握对数函数的概念、图象和性质；了解对数函数模型的简单应用；知道x函数y?a与y?logax(a?0,a?1)是互为反函数. 12.3幂函数 了解幂函数的概念；知道函数y=x, y=x, y=x, y?x质. 23?1,y?x2的图象和性★要点解读

1.指、对数运算

【知识要点】（1）指数的运算性质： ①a?a?a

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；②(a)?a；③(ab)?ab(a?0,b?0,r,s?Q).

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