2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷

2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分）

1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x2= 4y的准线方程为 ? 2 2

2. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m的取值范围是 ____________________________________ .

r-m nrl

3. （ 3分）若直线11： ax+2y- 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的

距离为 _______ .

4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x- 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _________________________________________________________________

5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆

8

则此双曲线的方程为 ________ .

6. （ 3分）已知三角形 ABC的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C在抛物线y2= 6x上移 动，

7. （3分）设P, Q分别为直线 （t为参数，t CR）和曲线:（0

则三角形ABC的重心的轨迹方程为 ______________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ .

& （ 3分）已知直线1: 4x- 3y+8 = 0，若P是抛物线y2= 4x上的动点，则点P到直线l和它 到y铀

2 2

9. （3分）如果M为椭圆 c

2 2

N为圆上的动点,

r

:二一上的动点,

的距离之和的最小值为 ______________ 那么V? 的最大值为 ___________

10. （3分）若关于x的方程71^2= I K-a I -a有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范

围是 _______ .

n v n

11. （3分）已知直线I: ax+by= 0与椭圆 寸+士-二L交于A, B两点，若C（ 5,5），则口^（^

的取值范围是 _______ .

2

一一

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12. （3分）在平面直角坐标系中， 已知圆C: x2+y2= r2与曲线X=V3 1/1交于两点M，N（M

在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若QT =ikOM（rTi>0），点Q （7，- 2），则当m和

r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为 _________ . 二、 选择题（本大题共 4题，每题4分，共16分）

13. （4分）方程3x2- 8xy+2y2= 0所表示的曲线的对称性是（ A .关于x轴对称 C .关于y= x轴对称

B .关于y轴对称 D .关于原点对称

）

14.

（4分）已知点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，贝U直线ax+by= r2与圆的位置关系 （ A .相离

C .相交且不过圆心 15.

xcos 0+ （y - 2） sin 命题中的假命题是（

）

B .相切

D .相交且过圆心

）

（4分）已知0 R，由所有直线 L : 1组成的集合记为 M，则下列

A .存在一个圆与所有直线相交 B .存在一个圆与所有直线不相交 C .存在一个圆与所有直线相切

D . M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 16.

（4分）双曲线x2- y2= 1的左右焦点分别为 F1, F2，

若P是双曲线左支上的一个动点， 则厶PF1F2的内切圆的圆心可能是（ ） A . （- 1 , 2）

B.

*）

C.（寺 1） D. （- 2, 1）

三、 解答题（本大题共 5题，共48分）

17. 已知圆 C的圆心在直线 x+y- 8= 0,并且圆 C与直线11: y= 2x- 21和12： y= 2x- 11 都相切.

（1） 求圆C的方程；

（2） 若直线l: 2x+ay+6a= ax+14与圆C有两个不同的交点 MN长的最小值. 18.

曲线 C是到两定点F1 （- 2, 0）、F2 （2, 0 ）的距离之差的绝对值等于定长 点的集合.

（1 ）若a = . ■:,求曲线C的方程；

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已知2a的

（2） 若直线l过（0, 1 ）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；

（3） 若a = 1,是否存在一直线 y= kx+2与曲线C相交于两点A、B,使得OA丄OB,若 存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 19.

船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有

轮A,

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B, C三个无线电发射台，其中 A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，(该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分)

，如下图，已知 A, B两点距离10千米，C是AB

的中点，海岸线与直线 AB的夹角为45。，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到A点的信号比接收到 B点的信号晩一―=一秒(注：无线电信号每秒传播 3X 105千米),

37500

在某时刻，测得轮船距离 C点距离为4千米.

(1) 以点C为原点，直线 AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求出该时刻轮船的

(2)

有搁浅的风险，如果轮

根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，

船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？

20. 已知椭圆C的两个焦点分别为 F1 (- c, 0), F2 (c, 0) (c>0),短袖的两个端点分别 为Bi, B2,且厶F1B1B2为等边三角形. (1) 若椭圆长轴的长为 4,求椭圆C的方程；

(2) 如果在椭圆C上存在不同的两点 P, Q关于直线对称，求实数c的取值范 围；

2

21.已知F1, F2为双曲线 CJ矍？一^

的左、右焦点, 过F2作垂直于X轴的垂线,

(3)已知点M ( 0, 1)，椭圆C上两点A, B满足 中-：「，求点B横坐标的取值范围. 在x轴上方交双曲线 C于点M，且/ MF 1F2 = 30° (1 )求双曲线C的两条渐近线的夹角

0;

(2) 过点F2的直线|和双曲线C的右支交于A, B两点，求△ AF1B的面积最小值; (3) 过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于Q1, Q2两点，求平行四边形 OQ1QQ2的面积.

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2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分） 1.

（ 3分）抛物线x2= 4y的准线方程为 y=- 1 .

【分析】由抛物线x2= 2py （ p> 0）的准线方程为y=-「即可求得抛物线 x2= 4y的准线

2

方程.

【解答】解：???抛物线方程为 X2= 4y, ???其准线方程为：y=- 1. 故答案为：y=- 1.

【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题.

2 2

2.

示椭圆，则实教 m的取值范围是

（ 3分）若方程’-表1v mv 7且m^4 .

7-m ir-1

【分析】找出等价不等式组求解即可.

2 2

【解答】解：???”’?：「 1表示椭圆，

|7-m in-1

7-nO0

? 1 v mv 7 且 m^ 4.

t7-irh^nr 1

故答案为：1 v m v 7且mz4.

【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题.

3. （ 3分）若直线11： ax+2y- 10 = 0与直线 2 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则l1与l2之间的 距离为 '.

【分析】 由直线11： ax+2y- 10= 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，求出a= 1,由此 能求出l1与l2之间的距离.

【解答】 解：???直线11： ax+2y- 10= 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行， ? _____ .._ 解得a= 1,

二直线 11： x+2y- 10= 0, 即卩 2x+4y- 20= 0,