一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切（2）4 【解析】
试题分析：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴?EAD＝?OAD，∵OA＝OD，∴?ODA＝?OAD，∴?ODA＝?EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切 （2）
如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴?DFA＝?DEA＝90?，
∵?EAD＝?FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD，∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF＝OD2?OF2＝4，∴AF＝AE＝8 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系
点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E． （1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
的中
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，点C，易证得AE⊥DE；
，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案． 试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA， ∴∠BAC=∠OCA， ∵
∴∠BAC=∠EAC， ∴∠EAC=∠OCA， ∴OC∥AE， ∵DE切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠CBA=60°， ∴∠BAC=∠EAC=30°， ∵△AEC为直角三角形，AE=3， ∴AC=2
，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°， ∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB， 在Rt△ACB中，AC=2∴BC=2， ∴AB=4， ∴AF=2．
考点：切线的性质．
，tan∠CBA=
，
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF． （1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52，AD∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析;(2)5 【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD?AE，进而得出答案． 详解：（1）连接OD． ∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO． 又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线． （2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52． 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100． 又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
ACAE=，∴AC2=AD?AE． ADAC设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴△ADC～△ACE，∴
∴100=4x?5x，∴x=5，∴DE=5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD?AE是解题的关键．
4．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠AEO?∠C，OE交BC于点F. （1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，sin?DBA?2时，求EF的长. 5
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】
21 2试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， ? ?CBD??CBO??OBD?90?. ∵AE是⊙O的切线，? ?ABO??ABD??OBD?90?. ? ?ABD??CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径，?OB=OC. ∴?C??CBO. ∴?C??ABD. ∵?E??C，∴?E??ABD. ∴ OE∥BD. （2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA=
2BD2?,OC=5， ，在Rt△OBE中, sin∠C =
5CD5BD?4∴?CBD??EBO?90?
∵?E??C，?△CBD∽△EBO.
∴
BDCD? BOEO∴EO?25. 2∵OE∥BD，CO=OD， ∴CF=FB. ∴OF?1BD?2. 2∴EF?OE?OF?21 2
5．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．
【答案】(1)见解析;(2)【解析】
10. 10分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可． 详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点， ∵△BDC是Rt△，且E为BC中点， ∴∠EDB=∠EBD．（2分） 又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，
若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点， 又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形． ∴∠CAB=45°． 过E作EH⊥AC于H， 设BC=2k，则EH=
2k，AE=5k， 2
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