圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第6章 商品间的需求关系
6.1 复习笔记
1．商品需求间的交叉价格效应
商品y的价格变化对商品x需求影响的交叉价格效应为：
上述关系用弹性形式可以表示为：
ex,py=exc?py?syex,I
2．替代品和互补品
假定消费者消费商品1和商品2，在商品1的价格和收入水平不变的情况下，如果商品2的价格上升，商品1的需求增加，就说商品1是商品2的替代品。用需求函数的偏导数表示就是：
?x1(p1,p2,I)?0；如果商品2的价格上升，则商品1的需求下降，就说商品1是
?p2?x1(p1,p2,I)?0。
?p2商品2的互补品。用需求函数的偏导数表达就是：
（1）总替代品与总互补品 两种商品xi与xj如果有
?xi?x?0，则它们是总替代品；如果i?0，则它们是总互补品。?xj?xj总替代品与总互补品有非对称性。
（2）净替代品与净互补品 如果
?xi?xj?0，则xi与xj称为净替代品；如果
U=常数?xi?xj?0，则xi与xj称为净互补
U=常数品。净替代品与净互补品有对称性。
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 3．多种商品情形下的替代关系
大多数商品是具有替代关系的，这一结论被称为“希克斯第二需求定律”。该结论证明如下：
给定的某种商品的补偿性需求函数xic(p1用欧拉定理，有：
pn,V)，该函数对所有价格是零次齐次的。
对上式各项除以xi，就得到弹性表达形式：
c?0恒成立，因为一种商品对自身的替代效应总是负的。因此，就有： 由于eii
上式用文字描述，就是一种物品对于其他所有物品的补偿性交叉价格弹性是非负的，其含义就是“大多数”商品是替代品。
4．组合商品 （1）组合商品的含义
组合商品是所有的商品价格同步变动的一组商品。这些商品被看作是一个单一的“商品”，消费者要将总支出在其他商品与这一组商品之间进行分配。
（2）组合商品定理
组合商品定理是经济学家为了研究方便而采用的一种简化分析的处理方法。假设消费者可在n种商品中进行选择，但有时经济学家只对其中的一种商品x1感兴趣。通常情况下，对x1的需求，取决于其余n?1种商品的单价。但如果所有这n?1种商品的价格都同时发生变
化，那么就可以把它们归并为一组“组合商品”y。这样，经济分析就可以简化为只分析两
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 种商品：x1和“组合商品”y。
00代表这些商品的初始价格，再设这些价格只能同时变动，则用于组如果用p2，…，pn合商品的支出为：
00y=p2x2+p3x3+0x，消费者的预算约束因而可以简化为： +pnn
此时组合商品y的价格可以视为1。
如果x2，…，xn的价格同时变化的比例为t，则消费者的预算约束变为：
此时，组合商品y的价格变为t。
6.2 课后习题详解
1．Heidi从羊奶（m）和果馅卷（s）两种商品中获得效用，其效用函数为：
U(m,s)=m?s
（1）证明：羊奶的价格上升不会改变Heidi对果馅卷的购买量，即证明：?s/?pm=0。 （2）证明：?m/?ps=0。
（3）利用斯勒茨基方程和净替代的对称性证明：（1）、（2）两问中涉及的收入效应影响是相等的。
（4）用m和s的马歇尔需求函数证明（3）的结论。
s=0.5I/ps，pmm=pss=0.5I，证明：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：从而有：
因而可得： ?s/?pm=0。
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 此外，因为无差异曲线是一次双曲线（ms为常数），所以自替代效应和交叉替代效应都是相同的比例大小，但是方向相反。因为无差异曲线是位似的，两种商品的收入弹性都为1，所以两种商品的收入效应也是相同的比例大小，因而pm的变化对s的替代效应和收入效应恰好抵消。
（2）由（1）同理可得：m=0.5I/pm，从而可得：?m/?ps=0。 （3）因为：
?s?s?s=0=|U?m ?pm?pm?I
?m?m?m=0=|?s?ps?psU?I又因为
?s?m?s?m|U=|U，所以有：m=s，即与（1）、（2）中的偏导数有关的收入效
?I?I?pm?ps应是相等的。
（4）由（1）中mm和s的马歇尔需求函数可知：
?0.5??0.5??0.5??s?m。 =m?=m???=s??=s?Ippm/sp?I?s??m??m?
2．困难时期Burt仅购买威士忌酒和果冻度日。对于Burt而言，虽然威士忌酒与果冻在通常情况下属于希克斯替代品，但是威士忌酒是具有吉芬悖论的劣等品。从直观上解释为什么在威士忌酒价格上升的情况下，果冻的购买量一定会减少。也就是说，这两种商品也必定是总互补品。
答：假设r代表威士忌酒的消费量，j代表果冻的消费量，其价格分别为：pr，pj。因为?r/?pr ? 0，所以
pr的上涨意味着rpr必定要上涨，从而pjj=I?prr一定会变小，因而j必然会变小。因而有?j/?pr?0，即威士忌酒和果冻必定是总互补品。
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 3．Donald是一个十分节俭的大学毕业生，仅消费咖啡（c）和黄油面包（bt）两种商品。他在学校食堂购买这些食物，并总是按一片面包配两小块黄油的比例进食。他将那点可怜的津贴一半用在咖啡上，另一半用在黄油面包上。
（1）在这个问题中，黄油面包可视为一种组合商品。怎样根据黄油的价格（pb）与面包的价格（pt）来求出黄油面包的价格？
（2）解释为什么?c/?pbt=0。 （3）是否?c/?pb与?c/?pt也等于0？
解：（1）黄油面包可视为一种组合商品，其价格为：pbt = 2pb + pt 。 （2）因为pc?c =0.5I，所以c =0.5I/pc，从而有：?c /?pbt = 0。
（3）因为pb或pt的变化仅仅影响pbt，所以这些偏导数也都为零，则根据链锁法则有：
?c/?pb=?c/?pbt??pbt/?pb=0 ?c/?pt=?c/?pbt??pbt/?pt=0
()()()()
4．Sarah女士没有小轿车，只能靠乘坐公交、火车或飞机旅行。她的效用函数为：
U=b?t?p
其中，每一个字母代表一种特定的旅行方式的里程数。假设乘火车旅行与乘公交旅行的价格比
pt固定不变。 pb（1）怎样定义陆路运输的组合商品？
（2）Sarah需要在陆地运输工具（g）与航空运输工具（p）中做出选择，试描述她的最优化问题。
（3）Sarah对g和p的需求函数是什么？
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